эквивалентные системы сил
эквивалентные системы сил
Две или несколько систем сил, имеющие одну и ту же уравновешивающую систему сил.
Примечание. Системы сил будут эквивалентными, если у них равны главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра (любого).
[Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно-технической терминологии. 1984 г.]
Тематики
Обобщающие термины
Смотреть что такое «эквивалентные системы сил» в других словарях:
эквивалентные системы сил — Две или несколько систем сил, имеющие одну и ту же уравновешивающую систему сил … Политехнический терминологический толковый словарь
Графостатика — Графостатика в теоретической механике учение о графическом способе решения задач статики. Графостатика позволяет решать задачи с системами сходящихся сил. На плоскости такая система сил является статически определимой, если число… … Википедия
Соединённые Штаты Америки — (США) (United States of America, USA). I. Общие сведения США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США … Большая советская энциклопедия
Соединённые Штаты Америки — Соединенные Штаты Америки США, гос во в Сев. Америке. Название включает: геогр. термин штаты (от англ, state государство ), так в ряде стран называют самоуправляющиеся территориальные единицы; определение соединенные, т. е. входящие в федерацию,… … Географическая энциклопедия
Модернизация — (Modernization) Модернизация это процесс изменения чего либо в соответствии с требованиями современности, переход к более совершенным условиям, с помощью ввода разных новых обновлений Теория модернизации, типы модернизации, органическая… … Энциклопедия инвестора
Анархизм — Формы правления, политические режимы и системы Анархия Аристократия Бюрократия Геронтократия Демархия Демократия Имитационная демократия Либеральная демократия … Википедия
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА — классическая, теория (неквантовая) поведения электромагнитного поля, осуществляющего взаимодействие между электрич. зарядами (электромагнитное взаимодействие). Законы классич. макроскопич. Э. сформулированы в Максвелла уравнениях, к рые позволяют … Физическая энциклопедия
Европейский центральный банк — (European Central Bank) Европейский центральный банк – это крупнейшее международное кредитно банковкое учреждение государств Евросоюза и Зоны Евро Структура и фкункции Европейского Центрального банка, Европейская система центральных банков,… … Энциклопедия инвестора
Твёрдое тело — одно из четырёх агрегатных состояний вещества, отличающееся от др. агрегатных состояний (жидкости (См. Жидкость), Газов, плазмы (См. Плазма)) стабильностью формы и характером теплового движения атомов, совершающих малые колебания около… … Большая советская энциклопедия
КИБЕРНЕТИКА — (от греч. kybernetike [techne] – искусство управления) – наука о самоуправляющихся машинах, в частности о машинах с электронным управлением («электронный мозг»). Кибернетика получила самое широкое распространение в последней трети 20 в. и сейчас… … Философская энциклопедия
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Система сил, эквивалентность сил, равнодействующая и уравновешивающая силы
Совокупность нескольких сил, приложенных к телу, точке или системе точек и тел, называется системой сил.
Системы сил классифицируют в зависимости от взаимного расположения в пространстве линий действия сил, составляющих данную систему.
Так, система сил, линии действия которых лежат в разных плоскостях, называется пространственной.
Если же линии действия рассматриваемых сил лежат в одной плоскости, система называется плоской.
Система сил с пересекающимися в одной точке линиями действия называется сходящейся. Сходящаяся система сил может быть как пространственной, так и плоской. Наконец, различают еще систему параллельных сил, которая, аналогично сходящейся, может быть пространственной или плоской.
Две системы сил называют эквивалентными, если взятые порознь они оказывают одинаковое действие на тело. Из этого определения следует, что две системы сил, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой.
Любую сложную систему сил всегда можно заменить более простой эквивалентной ей системой сил.
Одну силу, эквивалентную данной системе сил, называют равнодействующей этой системы.
Силу, равную по величине равнодействующей и направленную по той же линии действия, но в противоположную сторону, называют уравновешивающей силой.
Если к системе сил добавлена уравновешивающая сила, то полученная новая система находится в равновесии и, как говорят, эквивалентна нулю.
Силы, действующие на систему материальных точек, подразделяются на две группы: силы внешние и силы внутренние.
Внешними называют силы, с которыми действуют на точки данной системы другие тела, не входящие в эту систему.
Внутренними силами системы называют силы взаимодействия материальных точек, входящих в одну систему.
Так, для любого тела, расположенного на поверхности Земли, внешней силой является сила тяжести. Под действием внешних сил в телах возникают внутренние силы. Эти внутренние силы, возникающие между точками твердых тел, исследуют в сопротивлении материалов и в теории упругости. При этом широко применяют законы статики твердого тела.
Какие системы сил называются эквивалентными
Теоретическая механика – это наука о механическом движении твердых материальных тел и их взаимодействии. Механическое движение понимается как перемещение тел в пространстве и во времени по отношению к другим телам, в частности, к Земле.
Статика изучает условия равновесия тел под действием сил.
Кинематика рассматривает движение тел как перемещение в пространстве; характеристики тел и причины, вызывающие движение, не рассматриваются.
Динамика изучает движение тел под действием сил.
Сила – это мера механического взаимодействия материальных тел между собой. Взаимодействие характеризуется величиной и направлением, т. е. сила – это величина векторная, характеризующаяся точкой приложения, направлением (линией действия), величиной (модулем).
Силы, действующие на тело (или систему сил), делят на внешние и внутренние. Внешние силы бывают активные и реактивные. Активные силы вызывают перемещение тела, реактивные стремятся противодействовать перемещению тела под действием внешних сил.
Системой сил называют совокупность сил, действующих на тело.
Эквивалентная система сил – система сил, действующая так же, как заданная.
Уравновешенной (эквивалентной нулю) системой сил называется такая система, которая, будучи приложенной к телу, не изменяет его состояния.
Систему сил, действующих на тело, можно заменить одной равнодействующей, действующей так, как система сил.
Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, называемых аксиомами.
Первая аксиома. Под действием уравновешивающей системы сил абсолютно твердое тело или материальная точка находятся в равновесии или движутся равномерно и прямолинейно (закон инерции).
Вторая аксиома. Две силы, равные по модулю и направленные по одной прямой в разные стороны, уравновешиваются.
Третья аксиома. Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешивающую систему сил (принцип отбрасывания системы сил, эквивалентной нулю).
Четвертая аксиома (правило параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена к той же точке и является диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.
Пятая аксиома. При взаимодействии тел всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
Следствие из второй и третьей аксиом. Силу, действующую на твердое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия.
2. Связи и реакции связей
Все тела делятся на свободные и связанные.
Свободные тела – это тела, перемещение которых не ограничено.
Связанные тела – это тела, перемещение которых ограничено другими телами.
Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями.
Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей. Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.
Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).
Связи делятся на несколько типов.
Связь – гладкая опора (без трения) – реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре.
Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь) – груз подвешен на двух нитях. Реакция нити направлена вдоль нити от тела, при этом нить может быть только растянута.
Жесткий стержень – стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.
Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент.
Шарнирная опора. Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.
Подвижный шарнир. Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки). Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, так как не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.
Неподвижный шарнир. Точка крепления перемещаться не может.
Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее изображают в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной (Rx, Ry).
Защемление, или «заделка». Любые перемещения точки крепления невозможны.
Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент Мz, препятствующий повороту.
Реактивная сила представляется в виде двух составляющих вдоль осей координат:
3. Определение равнодействующей геометрическим способом
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся.
Необходимо определить равнодействующую системы сходящихся сил (F1; F2; F3;…; Fn), где n – число сил, входящих в систему.
В соответствии со следствиями из аксиом статики, все силы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными к одной точке.
Используя свойство векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил.
При графическом способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.
Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называется геометрическим.
Многоугольник сил строится в следующем порядке.
1. Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора совпал с началом последующего.
2. Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.
3. При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.
Условие равновесия плоской системы сходящихся сил. При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.
Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.
Если в системе три силы, образуется треугольник сил.
Геометрическим способом пользуются, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считается абсолютно твердым (отвердевшим).
Задачи решаются в следующем порядке.
1. Определить возможное направление реакций связей.
2. Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил, в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы-слагаемые направлены в одну сторону по обходу контура).
3. Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.
4. Для уточнения определить величины векторов (сторон многоугольника) с помощью геометрических зависимостей.
4. Определение равнодействующей аналитическим способом
Проекция сил на ось определяется отрезком оси, отсекаемой перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора.
Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением сил. Проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси.
Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси.
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определим равнодействующую аналитическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси. Складываем проекции всех векторов на оси х и у.
Модуль (величину) равнодействующей можно определить по известным проекциям:
Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействующими с осями координат:
Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.
Система уравнений равновесия плоской системы сходящихся сил:
При решении задач координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым. При этом желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.
5. Пара сил. Момент силы
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.
Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом. Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, так как они приложены к двум точкам.
Действие этих сил на тело не может быть заменено одной равнодействующей силой.
Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил плеча пары.
Лекция 1. Основные понятия и положения статики. Сходящаяся система сил
1.1. Основные определения
Решение многих важных технических задач сводится к изучению механического движения и механического взаимодействия различных материальных тел – конструкций, машин, механизмов и их деталей и т.д. Наука о механическом движении и взаимодействии тел называется механикой.
Под механическим движением понимают изменение взаимного положения тел в пространстве с течением времени. Тело называют свободным, если его движение не стеснено другими телами. В противном случае тело называется несвободным. Механическим взаимодействием называется такое действие тел друг на друга, которое может вызвать изменение движения этих тел или их формы.
Диапазон проблем, изучаемых механикой, весьма широк. В зависимости от того, движение каких именно тел рассматривается, выделяют механику жидкости и газа, механику деформируемого твердого тела (включая теорию упругости и теорию пластичности). Наиболее общие законы механического движения и взаимодействия материальных тел изучает теоретическая механика. Как правило, в данном разделе науки рассматриваются материальные точки и абсолютно твердые тела.
Тело называют материальной точкой, если его размерами в условиях задачи можно пренебречь. Абсолютно твердое тело характеризуется тем, что расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным. Иными словами, абсолютно твердое тело не подвержено деформации.
Разумеется, и материальная точка, и твердое тело – это идеализации. В реальности не существует тел с бесконечно малыми размерами, равно как и тел, которые нельзя деформировать. Так, поверхность стола прогибается даже под весом пушинки; дождевая капля, падающая с высоты километра, имеет небольшие, но вполне определенные размеры. Однако во многих практически важных случаях малыми деформациями, а также размерами некоторых тел можно пренебречь. Это существенно упрощает поставленные задачи, но их решения будут вполне пригодны и для описания реальных деформируемых тел конечных размеров.
На достижениях теоретической механики базируются и многие специальные технические дисциплины, например, теория механизмов и машин.
Мерой интенсивности механического взаимодействия является сила. Это векторная величина: она характеризуется своим числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения.
Пример. Чтобы открыть дверь, к ней следует приложить некоторое усилие. В зависимости от того, куда и в каком направлении приложено это усилие, эффект будет различным. Так, если дверь толкать в точке ее подвеса, она не повернется. Аналогично, она не будет двигаться, если толкать ее в торец параллельно дверному полотну. Подробнее этот пример будет рассмотрен в Лекции 3.
В интернациональной системе единиц СИ модуль силы измеряется в ньютонах (Н). Один ньютон равен силе, с которой Земля притягивает к себе тело массой примерно 102 г, находящееся вблизи земной поверхности.
Замечание. В системе СГС («сантиметр, грамм, секунда») единицей измерения силы служит дина: 1 дин = 10 –5 Н. В технической системе единиц МКГСС («метр, килограмм-сила, секунда») сила измеряется в килограмм-силах (кГ или кгс): 1 кГ = 9.81 Н. Килограмм-сила равна силе, с которой сила тяжести действует на тело массой 1 кг. В настоящее время эта единица считается устаревшей и, по мнению Международной органиации законодательной метрологии, должна быть выведена из обращения. Тем не менее, она еще продолжает встречаться в технической литературе.
Далее векторные величины обозначаются стрелочками (\(\vec F\)), а их модули (числовые значения) – как правило, теми же буквами, но без дополнительных знаков: F. Иногда запись вида "F» будет символизировать проекцию силы на координатную ось, а для модуля силы \(\vec F\) мы будем использовать обозначение \(|\vec F|\).
Линией действия силы называется прямая, проходящая параллельно силе через ее точку приложения (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Сила \(\vec F\) приложена к точке A. Линия действия силы показана штрихом
Вся совокупность сил, приложенных к данному телу (или системе тел), называется системой сил (рис. 1.2).
Рис. 1.2. К телу приложена система из трех сил
Система сил называется плоской, если все их линии действия лежат в одной плоскости. В противном случае систему называют пространственной.
Очевидно, прикладывая к телу разные системы сил, мы сможем оказать на него разное действие. Говорят, что системы сил эквивалентны, если они оказывают на тело одинаковое воздействие. Если заданная система эквивалентна одной силе, эту силу называют равнодействующей данной системы. Уравновешивающая сила равна равнодействующей по модулю, противоположна по направлению и действует вдоль той же прямой (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Силы \(\vec R\) и \(\vec Q\) являются, соответственно, равнодействующей и уравновешивающей для системы \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\)
Отметим, что не у каждой системы сил есть равнодействующая (и, соответственно, уравновешивающая). Примеры систем сил, не имеющих равнодействующей, будут приведены в Лекции 3 и Лекции 6.
Силы, приложенные к телу или системе тел, можно подразделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие со стороны тел, на принадлежащих изучаемой системе тел. Силы, действующие между телами, входящими в систему (или между частями одного тела) называются внутренними.
Пример. По отношению к наполненному воздухом воздушному шару сила земного притяжения будет внешней, а силы, с которыми молекулы горячего воздуха бьют об оболочку шара, раздувая ее, – внутренними. В то же время, если рассмотреть только оболочку шара, то силы ударов молекул будут внешними. Напротив, при рассмотрении системы «Земля + воздушный шар» сила земного притяжения оказывается внутренней.
Различают также сосредоточенные и распределенные силы. Сила называется сосредоточенной, если приложена к телу в одной конкретной точке. До сих пор в этой лекции речь шла только о сосредоточенных силах. Распределенные силы (их также называют распределенной нагрузкой) действуют на все точки, принадлежащие некоторому объему, поверхности или отрезку какой-либо линии. Сосредоточенные силы являются удобной идеализацией: действия над ними легко заменить действиями над векторами, но на практике невозможно приложить усилие к одной-единственной точке. Силу считают сосредоточенной, когда объем (площадь, длина) той области, на которой она распределена, много меньше объема всей области, рассматриваемой в задаче. Далее в пособии в большинстве случаев это ограничение считается выполненным; тот факт, что та или иная сила является распределенной, каждый раз оговаривается особо.
Пример. Силу, развиваемую при надавливании канцелярской кнопкой на стол, можно считать сосредоточенной, поскольку площадь соприкосновения заостренной части кнопки с поверхностью стола весьма мала. Опираясь на стол рукой, мы прикладываем к нему распределенное усилие, ибо ладонь соприкасается с поверхностью стола на гораздо большей площади.
Под действием некоторой системы сил тело может оказаться в равновесии, т.е. не изменять своего положения относительно других тел (например, относительно Земли) или двигаться относительно них прямолинейно и равномерно. В таком случае систему сил, приложенных к телу, называют уравновешенной (экивалентной нулю).
Замечание. Как видно, понятие равновесия является более общим, чем понятие покоя. Действительно, состояние покоя можно рассматривать как движение с постоянной нулевой скоростью. По определению, механическое взаимодействие, выражаемое силой, может привести к изменению движения (а не положения непосредственно). Если тело движется прямолинейно и равномерно (в частности, покоится), такого изменения не происходит, а значит, воздействия на данное тело со стороны других тел уравновешены.
Раздел механики, излагающий общее учение о силах и изучающий равновесие тел, называется статикой. В статике решаются две основные задачи:
Знание статики очень важно для инженера-строителя: проектируемые здания и сооружения должны выдерживать большие нагрузки и занимать устойчивое неподвижное положение.
Рис. 1.4. Александровская колонна
Другими разделами теоретической механики являются кинематика и динамика. Первый из них изучает движение тел без учета действующих на них сил, а второй – движение тел под действием сил.
1.2. Исходные положения статики
Как и теоретическая механика в целом, статика основывается на небольшом количестве исходных положений (аксиом), из которых с помощью логических рассуждений и математических выкладок выводятся другие утверждения, формулы и т.д. Ниже перечисляются аксиомы статики:
Аксиома 1. Система из двух сил, приложенных к одному и тому же абсолютно твердому телу, уравновешена тогда и только тогда, когда они равны по модулю, противоположны по направлению и имеют общую линию действия (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Равновесие твердого тела под действием двух сил
Пример. Если два человека с равными силами тянут тележку в противоположные стороны (рис. 1.6 а) или толкают ее каждый от себя (рис. 1.6 б), она не сдвинется с места.
Требование к двум уравновешенным силам – иметь общую линию действия – весьма существенно: если оно нарушается, образуется пара сил, которая не является уравновешенной системой.
Замечание. Теперь можно объяснить происхождение термина «уравновешивающая», введенного в п. 1.1. Действительно, согласно данному ранее определению и аксиоме 1, уравновешивающая и равнодействующая образуют систему сил, эквивалентную нулю. Поэтому исходная система сил (без равнодействующей) с присоединенной к ней уравновешивающей также будет уравновешенной.
Важно указать и на такой факт: под действием одной силы свободное тело будет находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эта сила равна нулю.
Замечание. Последнее утверждение более подробно обсуждается не в статике, а в динамике.
Аксиома 2. Действие заданной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к этой системе добавить или из нее исключить уравновешенную систему сил.
Эту аксиому можно сравнить с известным свойством чисел: если к любому числу прибавить или вычесть из него нуль, исходное число не изменится.
Следствие. Действие силы на твердое тело не меняется при переносе ее точки приложения вдоль линии действия. Иными словами, силу можно считать приложенной в любой точке ее линии действия – вектор силы является скользящим.
(Отметим, что вектор называют скользящим, если его можно откладывать от любой точки на его линии действия, не меняя при этом действия самого вектора. Если же вектор может быть отложен от любой точки пространства без изменения действия, то его называют свободным. Векторы, изученные в школьном курсе элементарной математики, – свободные. Сила же таким вектором не является. Более подробно вопрос об откладывании одной и той же силы от разных точек будет разобран далее.)
Доказательство. Предположим, что сила \(\vec F\) отложена от точки A, и требуется перенести ее в некоторую точку B на той же линии действия, как показано на рис. 1.7 а). Для этого присоединим к исходной силе уравновешенную систему сил \(\vec F’\), \(\vec F»\), направленных вдоль той же линии действия, что и \(\vec F\). Очевидно, одна из них (пусть \(\vec F’\)) окажется сонаправленной с \(\vec F\), а другая (\(\vec F»\)) – направленной противоположно ей. Дополнительно потребуем, чтобы сила \(\vec F’\) была отложена от точки B (рис. 1.7 б). Мы имеем на это право, поскольку в аксиоме 1 ничего не сказано о выборе точек приложения уравновешенных сил на их общей линии действия.
После таких построений силы \(\vec F\) и \(\vec F»\) равны по модулю, противоположны по направлению и разделяют общую линию действия. Значит, они уравновешивают друг друга, и их можно отбросить; в итоге остается лишь сила \(\vec F’\). Если теперь сравнить начало и конец рассуждений, то вместо силы, отложенной от точки A мы получили равную по величине и сонаправленную ей силу, отложенную от заданной точки B на той же линии, т.е. добились желаемого результата.
Пример. Чтобы передвинуть одну и ту же тележку с грузом, ее можно либо тянуть, либо толкать (рис. 1.8). Если в обоих случаях прикладывать к ней одну и ту же по величине силу вдоль одной и той же линии действия, то эффект будет одинаковым.
Аксиома 3 (правило параллелограмма сил). Две силы, приложенные к одному и тому же телу в одной и той же точке, имеют равнодействующую, отложенную от этой же точки. Эта равнодействующая изображается диагональю параллелограмма, построенного на исходных силах, как на сторонах (рис. 1.9).
Другими словами, силы, отложенные от одной точки, можно складывать, пользуясь известными правилами действий над векторами.
Рис. 1.9. \(\vec R\) – равнодействующая сил \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\)
Замечание 1. С точки зрения математики безразлично, каким правилом – параллелограмма или треугольника – пользоваться при сложении векторов. Тот же самый вектор \(\vec F_<2>\) на рис. 1.9 можно отложить от конца вектора \(\vec F_<1>\), сложив две силы по правилу треугольника.
Замечание 2. Если к телу приложены две взаимно уравновешенные силы, то их (пользуясь тем, что сила – скользящий вектор) можно отложить от одной точки (рис. 1.10). Если теперь сложить их по правилу параллелограмма, то получится нулевой вектор, ибо параллелограмм сил вырождается в отрезок.
Отметим, что складывать силы, приложенные к разным телам, нельзя: непонятно, к какому телу приложена их равнодействующая.
Аксиома 4 (закон равенства действия и противодействия). Любые два взаимодействующих тела действуют друг на друга с силами, равными по величине, но противоположными по направлению.
Аналогично предыдущей аксиоме, нельзя сказать, что две эти силы образуют уравновешенную систему, ибо они приложены к разным телам.
Аксиома 5 (свойство внутренних сил). При исследовании равновесия твердого тела следует учитывать только внешние силы. Внутренние силы образуют уравновешенную систему и потому при рассмотрении равновесия тела в целом не берутся в расчет.
Замечание. Можно попытаться рассмотреть это утверждение не как самостоятельную аксиому, а как следствие предыдущего исходного положения статики. Действительно, разделим исходное твердое тело на две части. По аксиоме 4, силы, с которыми они взаимодействуют, равны по модулю и противоположны по направлению. С другой стороны, эти силы можно считать приложенными к телу в целом и сделать вывод, что в этом случае они уравновешивают друг друга. Однако возникает вопрос: где гарантия, что у этих сил общая линия действия? Этот факт в общем случае не так просто обосновать, поэтому будем считать свойство внутренних сил самостоятельной аксиомой.
Аксиома 6 (принцип отвердевания). Если деформируемое тело под действием приложенных сил находится в равновесии, то абсолютно твердое тело той же формы и размеров также находится в равновесии.
Пример. Пусть две равные по силе команды перетягивают канат (рис. 1.11). С точки зрения теоретической механики, ничего не изменится, если заменить его жестким стержнем той же формы, размеров и массы.
Обратное, вообще говоря, неверно. Может оказаться так, что абсолютно твердое тело уравновешено, а деформируемое (тех же размеров и формы) – нет. Так, жесткий стержень из предыдущего примера останется в равновесии и в случае, когда его будут не растягивать, а сжимать, прикладывая к противоположным концам равные силы. Канат же в этом случае сомнется.
1.3. Сходящаяся система сил
Рассмотрим систему сил \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\). приложенных к твердому телу, и попытаемся найти их равнодействующую. Это просто, если все силы отложены от одной точки. Сначала по правилу параллелограмма сложим \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\), заменив их одной равнодействующей \(\vec R_<1>\); затем таким же образом сложим силы \(\vec R_<1>\) и \(\vec F_<3>\), заменяя их силой \(\vec R_<2>\), и т.д. (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Последовательное сложение нескольких сил по правилу параллелограмма
Тем самым, на каждом следующем шаге мы будем переходить к эквивалентной системе сил, содержащей на одну силу меньше, чем на предыдущем шаге. В конце концов, останется единственная сила, приложенная к телу; она и будет равнодействующей исходной системы.
Возникает вопрос: как быть, если точки приложения сил не совпадают?
Дадим определение. Система сил, приложенных к телу, называется сходящейся, если все их линии действия пересекаются в одной точке (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Сходящаяся система сил
В таком случае можно воспользоваться следствием из аксиомы 2 и перенести все силы в точку пересечения их линий действия, после чего сложить, как описано выше. Отсюда можно сделать важный вывод:
Сходящаяся система сил имеет равнодействующую. Она представляет собой векторную сумму сил, приложенных к телу, и прикладывается в точке пересечения их линий действия.
Замечание. Если твердое тело находится под действием сходящейся системы сил, то его во многих случаях можно считать материальной точкой. Размеры тела перестают играть роль – оно «стягивается» в ту точку, где пересекаются линии действия всех приложенных к нему сил.
Как уже было сказано, при сложении сил, отложенных от одной точки, применяются обычные «школьные» правила действий над векторами. Например, их можно складывать по правилу многоугольника: начало каждого следующего вектора силы должно совпадать с концом предыдущего. При этом самый первый вектор откладывается от точки пересечения A линий действия сил. Полученная геометрическая фигура называется силовым многоугольником. Чтобы найти равнодействующую \(\vec R\), остается соединить начало многоугольника с его концом (рис. 1.14).
Рис. 1.14. Построение силового многоугольника и равнодействующей
Если известны компоненты сил вдоль осей некоторой системы координат, все операции можно произвести аналитически, складывая или вычитая соответствующие проекции разных сил.
Замечание. Далее при действиях над векторами в кординатах будем всегда предполагать, что используемая система координат – декартова прямоугольная. Если речь идет о координатах в пространстве, то система координат считается правой: при взгляде с конца третьей оси кратчайший поворот от первой оси ко второй должен быть виден происходящим проив часовой стрелки. Все эти свойства далее специально оговариваться не будут.
Выше отмечалось, что одной из основных задач статики служит изучение условий равновесия систем сил, действующих на твердые тела. Для изучаемого нами случая это условие формулируется так:
Тело под действием сходящейся системы сил находится в равновесии, если геометрическая сумма всех приложенных к нему сил равна нулю.
Действительно, сходящаяся система эквивалентна одной силе – равнодействующей. Следовательно, если система уравновешена, то эта сила должна быть нулевой. Поэтому силовой многоугольник уравновешенной системы должен быть замкнутым – для получения нулевой равнодействующей его начало обязано совпасть с концом.
Очевидно, плоская система из двух непараллельных сил всегда является сходящейся: на плоскости прямые либо пересекаются, либо параллельны. Три силы уже могут не быть сходящимися: линия действия третьей силы может «проехать» мимо точки пересечения первых двух. Связать вопросы о равновесии и сходимости плоской системы трех непараллельных сил помогает следующее утверждение.
Теорема (о трех силах). Если твердое тело под действием плоской системы из трех сил находится в равновесии, то их линии действия пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть к телу приложены силы \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\), лежащие в одной плоскости, причем \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) не параллельны. Тогда их линии действия пересекаются, и эти силы имеют равнодействующую \(\vec R\) (рис. 1.15).
Рис. 1.15. Доказательство теоремы о трех силах
Исходная уравновешенная система \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\) эквивалентна двум силам \(\vec F_<3>\) и \(\vec R\), которые, таким образом, обязаны уравновешивать друг друга. Значит, они разделяют общую линию действия. Но (по нашему построению) на ней лежит точка пересечения линий действия сил \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\). Тем самым, линии действия всех трех исходных сил пресекаются в этой точке. Теорема доказана.
Обратное неверно: понятно, что произвольная сходящаяся плоская система трех сил не обязана быть уравновешенной. Она может иметь равнодействующую, не равную нулю.
В пространстве уже и система из двух непараллельных сил может не быть сходящейся, ибо их линии действия в пространстве могут оказаться скрещивающимися.
Вопросы для самоконтроля
Задачи к лекции
Силы \(F_<1>=6\sqrt<2>\) Н и F2 = 2 Н приложены к одной точке и образуют угол 45°. Найти величину их равнодействующей.
Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов.
Силы \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\) и \(\vec F_<3>\) лежат в плоскости Oxy, причем их линии действия проходят через начало координат. Сила \(\vec F_<1>\), численно равная 20 Н, образует с положительным направлением оси Ox угол, равный 30°, сила \(\vec F_<2>\), численно равная \(20\sqrt<3>\) Н, – угол в 120°, а сила \(\vec F_<3>\), чья величина составляет 10 Н, – угол 270°. Найти величину их уравновешивающей и угол, который она образует с положительным направлением оси абсцисс.
Указание. Запишите уравнения линий действия всех сил, найдите точку пересечения первых двух линий и докажите, что третья линия проходит через эту точку.
Ответы. 1. 10 Н. 2. 30 Н; 90°. 3. 300 Н. 4. \(\vec R=\<-1;7\>\); A(1; 2).