Плоские геометрические фигуры: свойства и основные формулы
В статье описываются геометрические фигуры: определение, основные свойства и формулы.
Плоские геометрические фигуры:
Четырехугольник (общее для всех четырехугольников)
Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Трапеция
Треугольник
Окружность
Геометрические фигуры — это любое сочетание точек, линий и поверхностей. Геометрические фигуры разделяются на плоские и объемные.
Плоские геометрические фигуры — это фигуры, все точки которых лежат на одной плоскости. Объемные геометрические фигуры — это фигуры, не все точки которых лежат на одной плоскости.
Четырёхугольник
Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.
Основные свойства:
В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.
Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°.Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
Квадрат
Квадрат — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Основные формулы:
Периметр: P=4a, где P-периметр, a-сторона
Площадь: S=a 2 или S=d 2 /2
Сторона и диагональ связаны соотношениями: a=d/√2, d=a√2
Радиус описанной окружности: R=d или R=a/√(2)
Радиус вписанной окружности: r=a/2
где a-сторона, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(2) – корень квадратный из 2.
Свойства:
Прямоугольник
Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые.
Основные формулы:
Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по сторонам: S = a*b
Площадь по диагонали и углу между ними: S = d²* sin γ. / 2
Стороны и диагональ связаны соотношением: d=√(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)
Радиус описанной окружности: R= √(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)
где a, b — длины сторон прямоугольника, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
γ – угол между диагоналями
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(a 2 +b 2 ) – корень квадратный из (a 2 +b 2 ).
Свойства:
Параллелограмм
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Определения:
Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.
Основные формулы:
Стороны и диагональ связаны соотношением: (d1) 2 +(d2) 2 =(a 2 +b 2 )*2
Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по стороне и высоте: S = a*h
S (Площадь) по двум сторонам и углу между ними: S=a*b*sin α
S (Площадь) по двум диагоналям и углу между ними: S=(d1*d2)/2*sin γ
где a, b — длины сторон, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h-высота, проведенная к противоположной стороне
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма (острый).
Свойства:
Ромб
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Основные формулы:
Периметр: P=4*a
Площадь по стороне и высоте: S=a*h
Площадь по диагоналям: S = (d1*d2)/2
Радиус окружности, вписанной в ромб: r=h/2 или r =(d1*d2)/4a
Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности: S=2*a*r
Площадь по стороне и углу: S = a 2 · sin α
Свойства:
Трапеция
Трапеция — четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Определения:
Основные формулы:
Периметр: P=a+b+c+d
Площадь определить: S=h*(a+b)/2
Стороны и диагональ равнобокой трапеции: d² = ab+c²
Радиус вписанной окружности: r = h/2
Свойства:
В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.
Треугольник
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).
Определения:
Основные формулы:
Периметр: P=a+b+c
Площадь по стороне и высоте: S=(a*h)/2
Площадь: по сторонам и углу между ними: S=(a*b)/2* sin γ
по трем сторонам и радиусу описанной окружности: S=(a*b*c)/4R
по трем сторонам и радиусу вписанной окружности: S=(a+b+c)/2*r
Площадь прямоугольного треугольника: S=(a*b)/2
Стороны прямоугольного треугольника: c 2 =a 2 +b 2 (Теорема Пифагора)
Свойства:
Окружность
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.
Определения:
Основные формулы:
Длина окружности: L = 2πR
Площадь круга: S = π*r 2 или S = π*d 2 /4
где π = 3,14 (3,1415926535) – величина постоянная,
где r-радиус, d –диаметр, L – длина окружности, S-площадь.
Урок математики в 1 классе «Плоские и объёмные фигуры»
Конспект урока математики
Тема: «Плоские и объёмные геометрические тела» слайд
Цель: углубить и расширить представления детей о плоских и объёмных предметах; их сравнение и выявление различия между ними.
Форма: урок-путешествие.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Мы пришли сюда учиться,
Не лениться, а трудиться.
Слушаем внимательно.
Мы начинаем урок математики.
Эту страну населяют не числа, а различные линии, фигуры и тела. Слайд
Сегодня мы отправимся в путешествие по стране Геометрии и посетим города, в которых живут плоские и объёмные фигуры.
Наша задача разобраться, что же такое плоские и что такое объёмные фигуры, чем они отличаются и какие геометрические фигуры относятся к плоским, а какие к объёмным.
Путешествовать мы будем на воздушном шаре. Слайд
Как думаете, почему?
— Собран из геометрических фигур.
В процессе путешествия мы выясним, к какой группе относятся детали нашего воздушного шара.
Солнце встало высоко
Город видим впереди.
Что за город? Погляди!
— Да не один город, а целых два. Слайд
— Пред вами два города. Прочитайте их названия.
На партах вы так же видите различные фигуры-жители городов. Расселите фигуры каждую в свой город.
— А теперь расскажите, какие фигуры вы заселили в Город плоских фигур.
Ответы детей. Слайд
— Что общего у всех плоских фигур?
— Они целиком укладываются на листе, столе, не возвышаются над плоскостью, их можно вырезать из бумаги.
— Математики говорят, что плоскость – это двухмерное пространство, т. е. у неёесть два измерения: длина и ширина.
Какие ещё плоские фигуры вы знаете?
— Отрезки, прямые, треугольники, круги…
— А теперь назовите фигуры, которые поселили в Город объёмных фигур.
Ответы детей. Слайд
— Что общего у этих фигур?
— Их как ни клади, они будут возвышаться над столом, доской.
— Какие ещё объёмные фигуры знаете? Ответы детей.
— В геометрии есть специальное название для объёмных фигур – геометрическое тело.
Все тела вокруг нас имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Правда, далеко не у всех геометрических тел можно указать длину, ширину, высоту. А вот у прямоугольного параллелепипеда можно.
Демонстрация учителем, дети рассматривают свои параллелепипеды.
— Все его грани являются прямоугольными. Многие предметы имеют такую форму. Назовите их. Слайд
— А теперь вернёмся к нашему воздушному шару. Из каких фигур, плоских или объёмных он состоит?
— Цилиндр и шар – объёмные фигуры, а тесёмки-линии – плоские.
— А теперь летим дальше
Солнце встало высоко
Что же это? Погляди!
2 остановка – научная.
— А сейчас догадайтесь, о какой фигуре идёт речь.
3. На всех нас посмотри.
3. У нас всего по три.
— Это треугольник. Слайд
— У треугольника 3 угла, 3 стороны, 3 вершины.
— А какая это фигура, плоская или объёмная?
— Подумайте, треугольник – это одна линия или несколько?
— Треугольник образуется тремя отрезками ломаной линии. Показ учителем.
Попробуйте смоделировать свои треугольники.
Поднимите, покажите свои треугольники.
— Отгадайте, о какой фигуре теперь пойдёт речь…
И похож на блюдо я,
На тарелку и на крышку,
На кольцо и колесо.
— Какая это фигура, плоская или объёмная? Ответы детей
Солнце встало высоко
Что же это? Погляди!
3 остановка – конструкторская.
Перед вами лежат конверты. Достаньте из них геометрические фигуры.
Какие они плоские или объёмные? Почему?
— Не возвышаются над плоскостью.
Сегодня с помощью этих геометрических фигур мы будем украшать открытку к празднику. Заготовки открыток вы найдёте на парте.
А какой праздник скоро все мы будем отмечать?
Сегодня мы с помощью этих геометрических фигур украсим новогодние открытки. Какие новогодние предметы мы можем собрать из них?
Украсьте новогодней аппликацией свою открытку, выбрав любой узор.
Итак, мы должны собрать узор для новогодней открытки.
Какие новогодние предметы могут получиться из ваших фигур?
Вам осталось только самостоятельно приклеить геометрические фигуры на открытку в нужном порядке.
Покажите свои работы.
Открытки получились замечательные. Их вы сможете подарить своим родственникам, близким, друзьям и поздравить с Новым годом. Положите открытки перед собой.
3. Итог урока.
— Вот и закончилось наше первое путешествие по стране Геометрии. Но вам предстоит ещё не раз побывать в этой удивительной и замечательной стране и узнать много нового.
Сегодня вы все работали замечательно и поэтому вы ….молодцы.
Наш урок окончен. Спасибо за внимание.
Прикреплённые файлы:
Интегрированный урок английского языка и математики «Время» в 4 классе Класс: 4 «а» инклюзивный Предмет: английский язык и математика Тема урока: Совершенствование речевых навыков учащихся: единицы времени.
Конспект занятия по математике «Геометрические фигуры. Плоские и объемные. Сравнение» Закрепить и обобщить знания детей о свойствах геометрических фигур: круга, квадрата, прямоугольника, треугольника. Закрепить знание цвета:.
Открытый урок математики в 1 классе на тему «Дециметр» Тема: «Дециметр» 1 класс Цель. Создать условия для усвоения умений измерять длины предметов в дециметрах и сантиметрах. Задачи. Дать представление.
Открытый урок математики в 4 классе «Встречное движение» Тема урока: Встречное движение. 4 класс Цели урока: • Формировать умение вести поиск и обнаружение способа решения задач на встречное движение.
Урок математики «Площадь фигур сложной конфигурации» в 3 классе УМК «Планета знаний» ЦЕЛЬ. Сформировать умения находить площадь фигур сложной конфигурации. Задачи. Вспомнить формулы нахождения S прямоугольника, S квадрата,.
Урок математики в 1 классе «Перестановка слагаемых» Тема: Перестановка слагаемых. Цель: посредством наблюдения вывести правило о том, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется; способствовать.
Урок математики в 4 классе по теме «Деление на трехзначное число» Тема: Деление на трехзначное число Цель: закрепление умения делить многозначные числа на трехзначное с использованием алгоритма деления.
Урок математики в 1 классе в форме урока-путешествия «Четвертая математическая галактика» по теме «Прибавление числа 4» Урок – путешествие «Четвертая математическая галактика» по теме «Прибавление числа 4» Цель: 1) образовательная – учить выполнять сложение.
Урок-экскурсия по музыке «Дыхание русской песенности» в 5 классе и в 11 классе «Церковное пение» Подготовка к уроку-экскурсии В гимназии в течении марта 2019 года учащиеся 5 и 11 классов стали инициаторами в организации совместного нестандартного.
Основные геометрические фигуры
Основные понятия
Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.
Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.
Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.
Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.
Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.
Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.
Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.
Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.
Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.
Примеры объемных геометрических фигур:
Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.
Прямоугольник
Прямоугольник — четырехугольник, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:
Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.
Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Квадрат
Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.
Найти площадь квадрата легко:
Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Трапеция
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.
Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
Как найти площадь трапеции:
S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.
Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.
Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.
P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.
Параллелограмм и ромб
Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны
Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.
Общие формулы расчета площади фигур:
Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Треугольник
Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.
Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.
S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.
Основание может быть расположено иначе, например так:
При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:
При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:
S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.
S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.
P = 3 × a, где a — длина стороны.
Круг — это множество точек на плоскости, которые удалены от центра на равном радиусу расстоянии.
Окружность — это граница круга.
Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.
Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.
Формулы площади круга:
Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.
L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)