Бином Ньютона
Из Википедии — свободной энциклопедии
Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n − 1 b + ⋯ + ( n k ) a n − k b k + ⋯ + ( n n ) b n <\displaystyle (a+b)^
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).
( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 <\displaystyle <\begin
Для быстрого разложения бывает удобно воспользоваться треугольником Паскаля.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №31. Сочетания без повторений. Бином Ньютона
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие сочетания без повторения и их свойства;
2) правила подсчета числа сочетаний из n-элементов по m без повторений;
4) треугольник Паскаля.
Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.
Число всевозможных сочетаний из n различных элементов по m элементов обозначают 
Формула для подсчёта числа сочетаний:
Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.
Числа 
являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Общим термином «соединения» в комбинаторике называют три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству. Ранее уже рассматривались два вида комбинаций. Это перестановки и размещения. В данных соединениях важен порядок размещения элементов. В случае, когда этот порядок не важен, то мы имеем дело с сочетаниями.
Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n ) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.
Иногда такие сочетания называют сочетаниями без повторений.
Число всевозможных сочетаний из из n элементов по m элементов обозначают 
Формула для подсчёта числа сочетаний:
Используя данную формулу можно отметить основные свойства сочетаний.
Простейшие свойства сочетаний:
1) 
2) 
3) 
Доказательства свойства сочетаний
1) 
2) 
3) 
При возведении суммы или разности двух чисел во вторую или третью степень мы пользовались формулами сокращенного умножения, которые являются частным случаем бинома Ньютона.
Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.
Числа 
являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:
Для более простого подсчета коэффициентов Бинома Ньютона для невысоких степеней удобно пользоваться треугольником Паскаля:
По бокам в каждой строчки имеется коэффициент, равный единице. Все средние коэффициенты считаются, как сумма верхних, которые находятся над ними.
Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.
Не трудно заметить, что строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Это еще одно замечательное свойство треугольника Паскаля
Исаак Ньютон (1642-1727 гг.) – выдающийся английский ученый, один из создателей классической физики. Биография Ньютона богата во всех смыслах этого слова. Он сделал немало открытий в области физики, астрономии, механике и математике. Ньютон является автором фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.
А при чем же здесь бином Ньютона и биномиальные коэффициенты? Формула
была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени произвольное рациональное число (возможно, отрицательное).
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
В вазе лежат двенадцать конфет, четыре из которых шоколадные, а остальные карамель. Вы хотите угоститься, выбрав две шоколадные и три карамельные конфеты. Сколькими способами вы можете это сделать?
Мы имеем два события. Это выбор шоколадных и выбор карамельных конфет. Порядок конфет не важен. Поэтому мы можем использовать формулу сочетания для каждого из событий. Так, как шоколадных конфет всего четыре, а выбрать мы хотим две, то это можно сделать способами 
.
1) 
Теперь посчитаем количество выбора карамельных конфет. Их общее количество в вазе 12-4=8, а выбрать мы хотим три. Рассчитаем сочетание из восьми по три.
2) 
События выбора разных видов конфет между собой независимы, поэтому по правилу умножения получаем
3) 
Представить разложение двучлена в n степени в виде многочлена, где n=0, 1, 2, …,5
Первые четыре разложения мы хорошо умеем делать, используя формулы квадрата и куба разности.
А для представления бинома четвертой и пятой степени воспользуемся треугольником Паскаля.
Что такое обратный бином ньютона
Школьный курс комбинаторики обычно имеет дело с задачами выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества, согласно неких правил.
Для формулирования и решения задач по комбинаторике используют следующие конфигурации: перестановки, размещения, сочетания.
Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Перестановкой из n элементов называется такой набор элементов множества, которые отличаются от исходного лишь порядком элементов. Обычно перестановка обозначается как P n и рассчитывается по формуле:
Найти число перестановок множества, состоящего из трех элементов: A, B, C.
Согласно формуле, количество перестановок будет равно 3! = 6.
Действительно, это наборы (ABC),(ACB),(BAC),(BCA),(CAB),(CBA).
Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Размещением из n элементов по k будет называться упорядоченное подмножество из k не повторяющихся элементов выбранные из множества, состоящего изn элементов. Обычно перестановка обозначается как A n k и рассчитывается по формуле:
Найти число размещений множества, состоящего из четырех элементов: A, B, C, D по два, т.е. сколько различных размещений по два элемента можно составить из указанного множества.
Согласно формуле, количество размещений будет равно 4! / (4-2)! = 24 / 2 = 12.
Действительно, это наборы (AB),(BA),(AC),(CA),(AD),(DA),(BC),(CB),(BD),(DB),(CD),(DC).
Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Сочетанием из n элементов по k будет называться подмножество из k не повторяющихся элементов выбранные из множества, состоящего из n элементов. Подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Обычно сочетание обозначается как С n k и рассчитывается по формуле:
Найти число сочетаний множества, состоящего из четырех элементов: A, B, C, D по два.
Согласно формуле, количество сочетаний будет равно 4! / 2!(4-2)! = 24 / 4 = 6.
Действительно, это наборы (AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD).
Сочетание играет важную роль в математике. В частности, он используется в биноме Ньютона.
Бином Ньютона.
Навигация по странице.
Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.
Треугольник Паскаля.
Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n :
Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.
Свойства биномиальных коэффициентов.
Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.
Доказательство формулы бинома Ньютона.
Приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем справедливость равенства 
.
Получили верное равенство.
Докажем, что верно равенство , основываясь на предположении второго пункта.
Поехали!
Раскрываем скобки
Группируем слагаемые
Так как 
и 
, то 
; так как 
и 
, то 
; более того, используя свойство сочетаний 
, получим
Подставив эти результаты в полученное выше равенство
придем к формуле бинома Ньютона 
.
Этим доказана формула бинома Ньютона.
Рассмотрим подробные решения примеров, в которых применяется формула бинома Ньютона.
Напишите разложение выражения (a+b) 5 по формуле бинома Ньютона.
Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения 
.
В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.
Доказать, что значение выражения 
, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.
Представим первое слагаемое выражение как 
и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
СОДЕРЖАНИЕ
История
Исааку Ньютону обычно приписывают обобщенную биномиальную теорему, справедливую для любого рационального показателя степени.
Заявление
Согласно теореме, любую неотрицательную степень x + y можно разложить в сумму вида
Примеры
Вот несколько первых случаев биномиальной теоремы:
В общем, для расширения ( x + y ) n с правой стороны в n- й строке (пронумерованной так, чтобы верхняя строка была 0-й строкой):
Пример, иллюстрирующий два последних пункта:
Простой пример с конкретным положительным значением y :
Простой пример с конкретным отрицательным значением y :
Геометрическое объяснение
Биномиальные коэффициенты
Формулы
Комбинаторная интерпретация
Доказательства
Комбинаторное доказательство
Пример
Коэффициент при xy 2 в
соответствующие трем двухэлементным подмножествам <1, 2, 3>, а именно,
где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке.
Общий случай
Это доказывает биномиальную теорему.
Индуктивное доказательство
что является индуктивной гипотезой с заменой n + 1 на n и завершает индуктивный шаг.
Обобщения
Обобщенная биномиальная теорема Ньютона
Например, r = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:
Дальнейшие обобщения
Случай c = 0 восстанавливает обычную биномиальную теорему.
Полиномиальная теорема
Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Общая версия
Многобиномиальная теорема
При работе с большим количеством измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно
Общее правило Лейбница
Общее правило Лейбница дает n- ю производную произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы:
Приложения
Многоугольные тождества
Формула Де Муавра говорит нам, что
которые являются обычными двухугловыми тождествами. Аналогично, поскольку
Формула Де Муавра дает
Серия для е
Число е часто определяется по формуле
К терм е этой суммы
Это означает, что е можно записать в виде ряда: