Что такое неограниченная функция

Пусть , тогда , отсюда
получаем . Обратное неверно.

Контрольный пример:
в окрестности точки 0.
– не существует.

Бесконечно малые и их свойства.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

Основные свойства бесконечно малых функций (б.м.)

1° Сумма конечного числа б.м. функций является функцией бесконечно малой.
2° Произведение б функции на ограниченную есть функция бесконечно малая.
3° Произведение двух б.м функций есть функция бесконечно малая..
4° Произведение б.м функции на константу является бесконечно малой функцией.
5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция бесконечно малая.
6° Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они
существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:
Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При
условии: все пределы существуют и .
Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;
Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,
Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

20-21. Первый и второй замечательные пределы и следствия.
Теорема. Первый замечательный предел .
Доказательство (геометрическое):

Так как , то .

Следствия из теоремы:

1)
2)
3)
4)
5)
Теорема. Второй замечательный предел .
Доказательство:
Бином Ньютона:
, где .
Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что , а значит .
Следствия из теоремы:
1)
2)
3)
4)

22. Сравнения бесконечно малыхвеличин (б.м.в.) Эквивалентные бесконечно малые.

Непрерывность функции. Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Ограниченность непрерывной функции.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Функция называется непрерывной справа в точке , если .
Функция называется непрерывной слева в точке , если .
Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

26. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции на замкнутом промежутке.

1) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

И зображенная на рисунке
функция непрерывна на отрезке и принимает свое наибольшее значение M в точке , а наименьшее m – вточке . Для любого справедливо неравенство: .
2) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует постоянная такая, что

27. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции.
Если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Следствия теоремы Больцано-Коши

1. Теорема о нуле непрерывной функции.
Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой значение функции равно нулю.

2. В частности любой многочлен нечётной степени имеет, по меньшей мере, один нуль.

Источник

Что такое неограниченная функция

Основные понятия и свойства функций

Область определения и область значений функции.

Правило (закон) соответствия. Монотонная функция.

Ограниченная и неограниченная функции. Непрерывная и

разрывная функции. Чётная и нечётная функции.

Периодическая функция. Период функции.

Нули функции. Асимптота.

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

— задана область определения функции X ;

— задана область значений функции Y ;

— известно правило ( закон ) соответствия, причём такое, что для каждого

значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Это требование однозначности функции является обязательным.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x ₁ и x ₂ из условия x ₂ > x ₁ следует f ( x ₂ ) > f ( x ₁ ), то функция f ( x ) называется возрастающей; если для любых x ₁ и x ₂ из условия x ₂ > x ₁ следует f ( x ₂ ) f ( x ₁ ), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

2) существует конечный предел lim f ( x ) ;

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.

Следовательно, добавление 2 n к аргументу синуса не

sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.

из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы

отличным от нуля числом из 2 n является 2 , то это число

Докажите, что функции tan x и cot x имеют период .

значение функции. Наименьшее отличное от нуля число

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.

Источник