2.2.6. Многоугольник распределения
Итак, пусть дискретная случайная величина 
задана своим законом распределения: 
Многоугольником распределения вероятностей данной величины называют ломаную, звенья которой соединяют соседние точки 
. Иногда вместо «многоугольника» используют термин полигон, но этот вариант больше в ходу в математической статистике.
Задача 91
Построить многоугольник распределения вероятностей случайной величины 
Решение: чертим прямоугольную систему координат, в которой по оси абсцисс отсчитываются 
– значения случайной величины, а по оси ординат 
– их вероятности. Отмечаем на чертеже точки 
, в данном случае их пять, и соединяем «соседей» отрезками: 
При выполнении чертежа от руки по возможности придерживайтесь следующего масштаба:
горизонтальная ось: 1 ед. = 2 тетрадные клетки (1 см);
вертикальная ось: 0,1 = 2 тетрадные клетки.
Если значения 
достаточно велики, то ось абсцисс можно «разорвать» (не чертить её кусочек после единицы), и справа продолжить нумерацию, например, с 20.
Теперь обратите внимание на следующую важную вещь: помимо того, что дискретную случайную величину можно изобразить с помощью многоугольника – её ведь можно ещё и ЗАДАТЬ этим способом. До сих пор мы делали это с помощью таблички, но никто же не мешает использовать и чертёж!
Задача 92
Дискретная случайная величина 
задана своим многоугольником 
Записать закон распределения данной случайной величины, выполнить проверку.
Это задание для самостоятельного решения. И тут мы, кстати, видим изъян графического способа: по чертежу не всегда понятны точные значения случайной величины и их вероятности.
На практике задачи с многоугольником встречаются довольно часто, но гораздо бОльшее распространение получила:
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Многоугольник распределения дискретной случайной величины
Многоугольник распределения является одной из форм закона распределения случайной величины.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| p | 0.05 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.15 | 0.1 |
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 6
Ряд распределения. Многоугольник распределения.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее. Случайные величины бывают прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин заранее могут быть перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Пример дискретных случайных величин:
1) Число появления герба при трех бросаниях монеты. (возможны значения 0;1;2;3)
2) Частота появления герба в том же опыте. (возможные значения 
)
3) Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов. (Возможные значения величин 0;1;2;3;4;5)
Примеры непрерывных случайных величин:
1) Абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле.
2) Расстояние от точки попадания до центра мишени.
3) Время безотказной работы прибора (радиолампы).
Случайны величины обозначаются большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, X – число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: X1=0,Х2=1, Х3=2, Х4=3.
Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами:
Так как несовместные события образуют полную группу, то
,
то есть сумма вероятности всех возможных значений случайной величины равна 1. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, то есть в точности укажем какой вероятностью обладает каждое из событий. (Этим мы установим так называемый закон распределения случайных величин.)
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующей им вероятности. (Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения)
Простейшей формой задания закона распределения случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
| Xi | X1 | X2 | … | Xn |
| Pi | P1 | P2 | … | Pn |
Такую таблицу называют рядом распределения случайных величин.
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. (Для наглядности полученные точки соединяют отрезками прямых.)
Рисунок 1 – многоугольник распределения
Такая фигура называется многоугольником распределения. Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.
производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Вероятность события А=0,3. Рассматривается случайная величина Х – число появлений события А в данном опыте. Необходимо построить ряд и многоугольник распределения величины Х.
Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и не прерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона распределения.
Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события X=x, а вероятностью события X 
Содержание:
Законы распределения:
Распределение случайных переменных: Каждая из случайных переменных имеет ряд возможных значений, могущих возникнуть с определенной вероятностью.
Случайные переменные величины могут носить прерывный (дискретный) и непрерывный характер. Возможные значения прерывной случайной переменной отделены друг от друга конечными интервалами. Возможные значения непрерывной случайной переменной не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Примерами прерывных случайных переменных могут служить:
Примеры непрерывных случайных переменных:
Если перечислить все возможные значения случайной переменной и указать вероятности этих значений, то получится распределение случайной переменной. Распределение случайной переменной указывает на соотношение между отдельными значениями случайной величины и их вероятностями.
Распределение случайной переменной будет задано законом распределения, если точно указать, какой вероятностью обладает каждое значение случайной переменной.
Такая таблица называется также рядом распределения случайной переменной.
Для наглядности ряд распределения изображают графически, откладывая на прямоугольной системе координат по оси абсцисс возможные значения случайной переменной, а по оси ординат — их вероятности. В результате графического изображения получается многоугольник или полигон распределения (график 1). Многоугольник распределения является одной из форм закона распределения.
Функция распределения
Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой прерывной случайной перемен- 
Вероятность того, что Х
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Что такое многоугольник распределения
В разделе курса, посвященном основным понятиям теории вероятностей, мы уже ввели в рассмотрение чрезвычайно важное понятие случайной величины. Здесь мы дадим дальнейшее развитие этого понятия и укажем способы, с помощью которых случайные величины могут быть описаны и характеризованы.
Как уже было сказано, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно. Мы условились также различать случайные величины прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин могут быть заранее перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Примеры прерывных случайных величин:
1) число появлений герба при трех бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3);
2) частота появления герба в том же опыте (возможные значения 
);
3) число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов (возможнее значения 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя (возможные значения 1, 2, 3, …, n, …);
5) число самолетов, сбитых в воздушном бою (возможные значения 0, 1, 2, …, N, где 
– общее число самолетов, участвующих в бою).
Примеры непрерывных случайных величин:
1) абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле;
2) расстояние от точки попадания до центра мишени;
3) ошибка измерителя высоты;
4) время безотказной работы радиолампы.
Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, 
– число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: 
.
Рассмотрим прерывную случайную величину с возможными значениями 
. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий:
(5.1.1)
Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами:
Так как несовместные события (5.1.1) образуют полную группу, то
,
т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий (5.1.1). Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.
Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины . Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:
Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины .
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рис. 5.1.1). Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.
Иногда удобной оказывается так называемая «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в 
отдельных точках сосредоточены соответственно массы 
. Тогда ряд распределения интерпретируется как система материальных точек с какими-то массами, расположенных на оси абсцисс.
Рассмотрим несколько примеров прерывных случайных величин с их законами распределения.
Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие 
. Вероятность события равна 0,3. Рассматривается случайная величина – число появлений события в данном опыте (т.е. характеристическая случайная величина события , принимающая значение 1, если оно появится, и 0, если не появится). Построить ряд распределения и многоугольник распределения величины .
Решение. Величина имеет всего два значения: 0 и 1. Ряд распределения величины имеет вид:
Многоугольник распределения изображен на рис. 5.1.2.
Пример 2. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков.
Решение. Обозначим число выбитых очков. Возможные значения величины : 
.
Вероятность этих значений находим по теореме о повторении опытов:
Ряд распределения величины имеет вид:
Многоугольник распределения изображен на рис. 5.1.3.
Пример 3. Вероятность появления события в одном опыте равна 
. Производится ряд независимых опытов, которые продолжаются до первого появления события , после чего опыты прекращаются. Случайная величина – число произведенных опытов. Построить ряд распределения величины .
Решение. Возможные значения величины : 1, 2, 3, … (теоретически они ничем не ограничены). Для того, чтобы величина приняла значение 1, необходимо, чтобы событие произошло в первом же опыте; вероятность этого равна . Для того, чтобы величина приняла значение 2, нужно, чтобы в первом опыте событие не появилось, а во втором – появилось; вероятность этого равна 
, где 
, и т.д. Ряд распределения величины имеет вид:
Первые пять ординат многоугольника распределения для случая 
показаны на рис. 5.1.4.
Пример 4. Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.
Решение. Случайная величина – число неизрасходованных патронов – имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:
Ряд распределения величины имеет вид:
Многоугольник распределения показан на рис. 5.1.5.
Решение. Случайная величина имеет три возможных значения: 1, 2 и 3. вероятность того, что 
, равна вероятности того, что при первом же применении устройство попадет в неблагоприятный режим, т.е. 
. Для того, чтобы величина приняла значение 2, нужно, чтобы при первом применении устройство попало в благоприятный режим, а при втором – в неблагоприятный; вероятность этого 
. Чтобы величина приняла значение 3, нужно, чтобы два первых раза устройство попало в благоприятный режим (после третьего раза его все равно придется регулировать). Вероятность этого равна 
.
Ряд распределения величины имеет вид:
Многоугольник распределения показан на рис. 5.1.6.