Что такое функция в математике
Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.
| Сколько времени двигается автомобиль | Сколько км проедет автомобиль |
|---|---|
| 1 час | 60 км |
| 2 часа | 120 км |
| 3 часа | 180 км |
Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.
Обозначим за « x » время автомобиля в пути.
Обозначим за « y » расстояние, пройденное автомобилем.
Запишем зависимость « y » (расстояния) от « x » (времени в пути автомобиля).
Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.
Теперь вместо « y » запишем обозначение « y(x) ». Такая запись означает, что « y » зависит от « x ».
Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:
Функцией называют зависимость « y » от « x ».
Запись функции в виде « y(x) = 60x » называют формульным способом задания функции.
Конечно, нужно понимать, что функция « y(x) = 60x » — это не единственная в мире функция. В математике бесконечное множество самых разнообразных функций.
Примеры других функций:
Единственное, что объединяет все функции, это то, что они показывают зависимость значения функция (« y ») от её аргумента (« x »).
Способы задания функции
Задание функции формулой
Через формульный способ задания функции всегда можно сразу по конкретному значению аргумента « x » найти значение функции « y ».
Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.
Запишем расчет следующим образом.
Табличный способ задания функции
С табличным способом задания функции мы уже встречались, когда расписывали таблицу для функции, которая описывает движение автомобиля « y(x) = 60x ».
Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений « y » для произвольно выбранных значений « x ».
Будьте внимательны, когда подставляете значение « x » в функцию,
у которой перед « x » есть минус.
Нельзя терять знак минуса, который стоит перед « x ».
При подстановки отрицательного числа в функцию вместо « x » обязательно заключайте отрицательное число в скобки. Не забывайте использовать правило знаков.
Подставим в функцию « y(x) = −x + 4 » вместо « x » отрицательное число « −1 ».
Неправильно
Правильно
Запишем полученные результаты в таблицу. Таким образом мы получили табличный способ задания функции « y(x) = −x + 4 ».
| x | y |
|---|---|
| −1 | 5 |
| 0 | 4 |
| 1 | 3 |
Графический способ задания функции
Теперь давайте разберемся, что называют графиком функции и как его построить.
Прежде чем перейти к изучению графического способа задания функции обязательно вспомните, что называют прямоугольной системой координат.
Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ».
Результаты запишем в таблицу.
| x | Расчет |
|---|---|
| −1 | y(−1) = −2 · (−1) + 1 = 2 + 1 = 3 |
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Назовем каждую полученную точку и запишем их координаты в новую таблицу.
| Имя точки | x | y |
|---|---|---|
| (·) A | −1 | 3 |
| (·) B | 0 | 1 |
| (·) C | 1 | −1 |
Соединим отмеченные точки прямой. Проведенная прямая будет графиком функции « y(x) = −2x + 1 ».
График функции — это объединение всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию произвольные числовые значения вместо « x ».
Другими словами можно сказать, что под графиком функции мы понимаем множество всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию любые числовые значения вместо « x ».
Полученный график функции « y(x) = −2x + 1 » это бесконечное множество точек, которые лежат на одной прямой.
При многократном увеличении графика функции мы увидим, что в самом деле вся прямая состоит из рядом стоящих точек.
Точки располагаются максимально близко к друг другу, поэтому по расчетам получается, что графиком функции будет являться прямая.
Что такое функция?
Это слово используется очень часто. И в научном диспуте и обычной болтовне… Но кто и из нас точно знает, о чем идет речь? Что такое функция?
Простое объяснение функции — это зависимость, связь или действие. Все зависит от контекста, но к концу этой статьи все станет ясно и понятно (и самому автору тоже).
История функции
Само слово “функция” — латинского происхождения. С латыни оно переводится как “выполнение” или “совершение”, что в принципе одно и то же — действие. Функционировать, и сейчас означает выполнять какое-то действие.
Что такое функция в математике
В математике функция означает — «зависимость». Это самое простое и короткое объяснение. Но для тех, кому еще не стало все понятно…
Больше всего трудностей с пониманием как обычно нам дарит как раз математика. Термин функция в математике появился, лишь в 17-м веке. Хотя само явление было известно гораздо раньше именно в переписке двух математиков Бернули и Лейбница это слово было употреблено в значении очень близком к современному.
Функция существовала в математике и до этого, просто общепринятого термина и его определение не было. Например, не менее известные, Пьер Ферма (автор теоремы своего имени), Рене Декарт и даже Ньютон, отлично понимали предмет, но не пользовались термином.
Первое определение функции в математике дал Леонард Эйлер в 1751 году. До Эйлера функцию объясняли как:
Некоторое сопоставление постоянных и переменных
Эйлер же выразился намного более определенно:
Эйлер считал, что функция — это соответствие между парами чисел.
Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых…
Зависимость одного множества чисел от другого и есть функция. В то время, когда знаменитый математик написал эти слова, он был участником так называемого спора о струне.
Итак, зависимость (или связь или соответствие) одного множества от другого.
Эта зависимость обозначается буквой ƒ
Здесь x это аргумент функции, или независимая переменная, а y — зависимая переменная или “функция икс”.
Это можно прочитать как “каждому значению игрек соответствует определенное (а определяется оно законом f(x)) значение икс” или “игрек зависит от икс по некоторому закону.”
То есть когда какие либо два набора (множества) чисел или объектов связаны между собой по какому-то закону, мы имеем дело с функцией. Икс и игрек это просто буквы которые принято использовать сами по себе они ничего не значат, можно написать любые другие.
Например: Давление воды, это функция глубины.
Чем глубже, тем выше будет давление. Пословица “Чем дальше в лес, тем больше дров” — тоже функция (количества дров от расстояния), а “Как с гуся вода” — уже нет. Потому, что гусь с водой никаким законом не связан.
Запись y=f(x) говорит о том, что между х и у есть связь, но непонятно какая. Она может быть у=х (каждому игреку свой икс), а может и у=2х (каждому игреку соответствует икс умноженный на два). Зависимость может быть любой, но она должна быть.
Функция в физике
Функция — может быть, например, величиной изменяющейся с течением времени (или не времени, а чего-то другого, просто время более понятно).
Например, скорость это функция изменения расстояния от времени. Если расстояние пройденное за определенное время разделить на это время получим — скорость.
v=s/t x=f(t) функция изменения координаты по времени. Можно сказать ”зависимость изменения координат от времени.”
Физика, как наука “о природе” помогает лучше понять математику. Тут все можно объяснить простыми словами, даже «функцию».
Давайте представим самую обычную ситуацию. Человек куда-то идет. За первый час он прошел 5 километров, за второй еще 5, потом еще…Через 3 часа он устал, и начал идти медленнее — 4 км…. В конечном итоге (через 5 часов прогулки, и вовсе остановился, чтобы отдохнуть.
Мы гуляли 5 часов и протопали 5+5+5+4+3=22 километра (воображаемый человек не курит и гуляет в удобной обуви). Зависит ли пройденное расстояние от времени? Конечно да, чем дальше гуляем, тем дальше окажемся от дома. Расстояние зависит от времени — это функция. В столбике выше у нас ее табличное выражение.
Причем в первые три часа функция линейная, а дальше — уже нет. Почему? В реальном мире, из-за усталости скорость уменьшилась. А в “мире науки”. Если взять изобретение господина Декарта и нарисовать то, что у нас в таблице.
Получится график функции или ее графическое изображение. На графике видно, что первые 3 часа наш пешеход шел с одинаковой скоростью, линия прямая (зеленого цвета). Он устал и начал идти медленнее, и с каждым шагом все медленнее и медленнее (оранжевая кривая линия). Если бы линия была прямой все время, мы бы преодолели расстояние в 25 км. Но это не так. Делим расстояние 15 км на 3 часа и получаем скорость 5 км/ч делим 4 на 1 час и 3 тоже на 1 и получаем скорости 4 км/ч и 3 км/ч.
Но прелесть зависимости в том, что если мы захотим узнать, какая скорость была через 4 часа и 30 минут, достаточно провести линию снизу вверх до пересечения с графиком (синяя точка) и справа налево до оси на которой находится расстояние и поделить одно на другое (расстояние на время). Можно даже узнать, что будет если не остановится и не отдыхать. Продлеваем график еще на один час и вуаля:
Ну это на графике, а в самой первой таблице нет времени 4:30 и нет ничего после 6-ого часа.
Нет и не нужно. Функция — это зависимость и выразить ее можно еще одним способом — аналитическим. Получится формула.
Здесь t — это аргумент функции, такой же, как и “икс” в абзаце о математике. А “икс” обозначения координаты которая меняется в зависимости от времени t.
Зная по какому закону время зависит от расстояния, можно рассчитать скорость в любой момент времени.
В нашем примере закон у=5х или s=5t, но только на участке от нуля до трех, дальше зависимость нелинейная и отражается кривой линией. Но
С другой стороны, есть значение слова “действие” (если еще не забыли). Кто с кем и что делает? В нашем примере расстояние меняется со временем. Это то же самое, что и “время изменяет расстояние”? В принципе, да вполне логично.
Математики вообще могут сказать что, “оператор f действует из множества х в множество y”.
Функция — роль и предназначение
Функция молотка — забивание гвоздей. А Центрального банка (не единственная) — выдача кредитов банкам помельче.
Вот мы и вернулись к первоначальному значению латинского слова “выполнять”. Молоток (выполняет работу) по забиванию гвоздей. Банк (выполняет работу) по выдаче кредитов. В обоих случаях есть и связь одного с другим и какое-то действие оправдывающее существование и молотка и банка.
В программировании функция — это код выполняющий определенную задачу. Подпрограмма которую можно “вызывать” (обычно много раз) для выполнения некой задачи. Вот пример из php (языка, который используется на этом сайте):
Даже не будучи программистом становится понятно, что функция по имени «sum» суммирует 2 переменные.
Итак функция, это зависимость, или работа, или предназначение… Зависит от контекста, но всегда есть минимум две сущности (может быть и больше) связанные каким-то правилом или законом, которые действуют одна на другую. Что-то с чем-то связано, кто-то на что-то оказывает влияние. Такая одновременно и простое и сложное, почти философское понятие, но встречается нам каждый день.
Что такое функция?
7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Что такое математическая функция
Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:
Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:
Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:
Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.
Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.
Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).
Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.
Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.
Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:
Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.
Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:
Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.
Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.
Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.
График линейной функции
Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:
Графики других функций
Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:
Приведем несколько примеров графиков степенных функций:
Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:
В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:
Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:
В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):
Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:
В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:
График функции y = |x| выглядит следующим образом:
Графики периодических (тригонометрических) функций
Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:
где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:
График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:
График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.
Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.