Спектры действительного и аналитического сигналов
Если мы посмотрим на спектр действительного сигнала s(t), мы увидим спектр модулированного сигнала, который находится в положительных частотах, который располагается вблизи частоты несущей, а в отрицательных частотах, мы увидим его полную копию.
Что будет если мы построим спектр аналитического сигнала, который определяется через комплексную экспоненту?
Спектр положительных и отрицательных частот, может иметь произвольную форму.
Если мы заменим cos на комплексную экспоненту, мы увидим сигнал, который показан на рисунке выше. В положительной части спектр фигурирует, а в отрицательной исчезнет.
Когда мы рассматриваем спектр вещественного сигнала, то в отрицательной области частот, всегда будет повторяться то, что находится в области положительных частот. А для аналитического сигнала это не так.
ВОПРОС: Частота несущей несет в себе какую-либо информацию?
Частота несущей в себе никакой информации не несет, подразумевается, что мы её знаем, когда принимаем этот сигнал. Соответственно, мы можем от нее избавиться.
На рисунке спектр действительно сигнала s(t), который определяется через cos и он содержит в себе, как спектр положительной области, так и копию в отрицательной.
Что будет с этим спектром если мы, сигнал умножим на комплексную экспоненту? Одна половинка будет в нуле, а другая уйдет дальше вниз по частоте.
Что будет если мы пропустим сигнал через фильтр нижних частот (ФНЧ)? ФНЧ пропускает, то что возле нуля Гц. А то, что выше частоты среза он подавляет.
Представление комплексных сигналов без несущей частоты. Baseband signals
Ниже запись аналитического сигнала через комплексную экспоненту.
Мы должны избавиться от частоты несущей, т.е. от ω0. Математически мы должны аналитический сигнал, выше на картинке, z(t) умножить на комплексную экспоненту, где в аргументе фигурирует ω0, только еще со знаком “минус”.
Когда мы умножаем сигнал на комплексную экспоненту, ωt это равносильно тому, что мы смещаем частоту этого сигнала. Если в аргументе плюс, то вверх по частоте, если минус, то вниз по частоте. Источник статья про комплексное представление гармонических сигналов.
Зачем нужно представление сигнала без несущей?
Рассмотрим на примере оцифровки сигнала. Есть ВЧ колебание, из эфира приняли сигнал приёмником, усилили сигнал, отфильтровали и хотим оцифровать. Е сть частота несущей, по теореме Котельникова:
частота дискретизации должна быть не менее, чем в 2 раза больше, чем самая верхняя частота в спектре.
На картинке ниже f0 — частота несущей. fd — частота дискретизации, которая не менее, чем в 2 раза выше fверх — верхней частоты. На уровне техники, физических приборов можем преобразовать сигнал без несущей.
Можем сместить этот сигнал вниз по частоте или вверх, либо полностью избавиться от частоты несущей и спектр сигнала будет располагаться вокруг нуля. Тогда частота дискретизации будет определяться только полосой сигнала.
Пример модели в Matlab Simulink. Если посмотрите на спектр сигнала, то увидите, что он сосредоточен возле нуля.
Векторное представление гармонических сигналов, представленных в комплексной форме
Комплексное число можно представить в векторной форме:
Картинка выше поясняет взаимосвязь между гармоническими функциями и векторным представлением. Если мы возьмем аналитический сигнал, где фигурирует частота f, амплитуда A, мы этот сигнал можем представить, как вектор, который вращается с этой частотой.
Векторная интерпретация Baseband сигналов
Остальные статьи в разделе радиосвязь, читай! Если есть вопросы задавай в комментариях!
Embedder’s life
Что такое комплексный сигнал, зачем он нужен и чем хорош
Комплексный сигнал — важная штука; он являет собой один из краеугольных камней радиотехники. Почти все современные приемники (GSM, Wi-Fi, Bluetooth…) работают, выделяя квадратурные составляющие, которые потом подвергаются цифровой обработке. Увы, обычно в ВУЗах эту тему объясняют с привлечением полулетальных доз матанализа. Понятное дело, после этого у любого нормального человека надолго отпадает желание возвращаться к такому материалу, и формируется стойкое непонимание того, чем же такой ужас может быть удобен. В этой статье я постараюсь объяснить по-человечески, что такое комплексный сигнал и почему он действительно чудно хорош.
Одно «но»: я предполагаю, что читатель уже знаком с таким устройством как перемножитель (смеситель) и в курсе явления переноса частоты; то есть картинка, приведенная ниже, сердечно ему знакома, как обычно бывает уже курсе этак на третьем-четвертом, ближе к сессии. Также предполагается, что понятия скалярного произведения векторов и функций не вызывают удивления у читающего.
Итак, выше мы видим смеситель, на который подается опорный сигнал (сигнал гетеродина) REF, а также полезный сигнал S. Как известно, на выходе получается смесь разных гармоник, в числе которых присутствует и интересующий нас сигнал p (копия сигнала S, перенесенная на промежуточную частоту IF), который мы выделяем с помощью фильтра низкой частоты. Это стандартная схема гетеродинирования, совершенно чудесного метода, который позволяет перенести сигнал с каких-нибудь диких гигагерц, для коих частот удобно делать компактные антенны, на низкую промежуточную частоту, где сигнал удобно анализировать в силу того, что на низкой частоте мы можем без проблем оцифровать его и далее применить любые алгоритмы.
Однако любой человек, делавший лабы на эту тему, знает, что гетеродинированию свойственны некоторые недостатки, а именно наличие так называемых побочных каналов приема, в частности, зеркального канала и канала на промежуточной частоте. То есть, в выходной сигнал p попадет не только то, что находится на IF Герц ниже частоты настройки гетеродина REF, но также и то, что находится симметрично, на IF Герц выше по частоте, и, кроме того, то, что приходит на вход непосредствено на частоте IF; при этом, если прохождение сигнала на промежуточной частоте может быть ослаблено совершенствованием схемотехники смесителя, наличие зеркального канала является фундаментальной проблемой и не может быть устранено никаким образом кроме применения внешнего фильтра, ослабляющего нежелательную полосу частот.
Откуда берется зеркальный канал? Его наличие можно показать аналитически, но я предлагаю посмотреть на проблему немного под другим углом. Давайте вглядимся в примерное уравнение работы нарисованного выше смесителя (строго говоря, оно не совсем корректно в смысле, например, пределов интегрирования, но идею демонстрирует):
интеграл здесь символизирует фильтр низких частот. Если теперь вспомнить курс матанализа, можно заметить, что это уравнение до боли напоминает скалярное произведение функций.
Когда видишь скалярное произведение чего-то (в нашем случае — сигналов), это что-то всегда начинает напоминать вектор. Итак, у нас есть векторы сигналов и их скалярное произведение. Давайте нарисуем его на плоскости!
В свете этого получается, что выходной сигнал p — ничто иное, как проекция вектора S на вектор REF (мы ведь помним, что скалярное произведение — это проекция). Но смотрите, есть ведь и еще один вектор, I, проекция которого на REF точно такая же, причем расположен он зеркально вектору S. Вот он, наш зеркальный канал. Очевидно, что он будет всегда, потому что любой вектор S можно отразить относительно вектора REF (нет, я не буду это доказывать; слава богу, в физике объяснение «это очевидно» вполне работает для подобных случаев).
Как отличить проекцию вектора I от проекции вектора S? В случае одного опорного вектора REF, понятное дело, никак. Остается только подавлять зеркальный канал до смесителя. Однако проблема исчезнет сама собой, если добавить второй опорный вектор, повернутый на 90°.
Ортогональные вектора REF1 и REF2 образуют на плоскости декартову систему координат, в которой однозначно представим любой вектор, хоть S, хоть I — при отражении одна из координат просто меняется на противоположную.
Так вот, комплексным сигналом и называется разложение входного сигнала на две компоненты, которые являются, по сути, скалярными произведениями входного сигнала на две ортогональные опорные функции (в отличие от одной в случае простого гетеродинирования). Функции эти обычно гармонические, а конкретно — синус и косинус. Сигнал называется комплексным потому, что для удобства расчетов полученные две компоненты представляют в виде комплексного числа. Это удобно потому, что для комплексных чисел разработан хороший математический аппарат (в частности, преобразование Фурье). То есть комплексности, по факту, никакой нет — есть просто две составляющие, которые удобно спрессовать в одно комплексное число для последующего применения матаппарата.
Ранее мы сделали шаг от классической блок-схемы смесителя к картинке с векторами. Теперь давайте сделаем обратный шаг — от картинки выше, уже с двумя опорными векторами, к эквивалетной блок-схеме. Как мы уже выяснили, один смеситель соответствует одному скалярному произведению. Теперь у нас скалярных произведения два, так что смесителя тоже будет два. А еще на схеме появится фазовращатель — второй опорный вектор-сигнал, повернутый на 90°, на практике получают из одного основного (во временной области поворот соответствует сдвигу по фазе).
И вот у нас получилась классическая схема того, что называется квадратурным демодулятором, на выходе которого мы имеем комплексный сигнал. Канал, полученный умножением входного сигнала на исходный опорный сигнал, соответствует вещественной части комплексного сигнала (Re) и часто называется каналом I (in-phase, без сдвига). Соответственно, канал, полученный умножением входного сигнала на второй опорный сигнал, являющийся сдвинутой версией исходного, соответствует мнимой части (Im) и часто называется каналом Q (quadrature, со сдвигом на 90°). Дальше по пути каналов I и Q в 99% случаев стоят АЦП. Да-да, это именно то, что лежит в основе SDR.
Комплексный сигнал имеет много ценных свойств, в частности:
Поскольку смеситель может переносить частоту как вниз, так и вверх (в спектре выходного колебания присутствует и гармоника суммы частот входного сигнала и гетеродина, можно отфильтровать ее, а не промежуточную частоту), из квадратурного демодулятора легко получается квадратурный модулятор; в этом случае, формируя комплексный сигнал произвольным образом в цифровом виде и выводя на модулятор компоненты I и Q с помощью цифро-аналоговых преобразователей, мы можем легко получить самые замороченные виды модуляции (вроде OFDM), которые другим путем получить практически невозможно. Если выражаться в стиле геометрических аналогий, приведенных выше, в случае квадратурного модулятора мы имеем дело с суммой маштабированных опорных векторов REF1 и REF2 (см. соответствующую картинку).
Пара слов о преобразовании Фурье. Известно, что для вещественного сигнала результат преобразования Фурье симметричен, и его вторая часть не несет полезной информации. Если же на вход преобразования Фурье подать комплексный сигнал с квадратурного демодулятора, то область отрицательных частот (то, что дальше половины количества выборок в случае дискретного преобразования), будет соответствовать области спектра ниже частоты гетеродина, а область положительных частот — области спектра выше частоты гетеродина. Таким образом, результат преобразования Фурье для комплексного сигнала имеет смысл целиком. Результат же обратного преобразования Фурье пригоден для подачи на вход квадратурного модулятора, что позволяет сформировать совершенно любой сигнал, зная его спектр.
Статья получилась достаточно длинной и, наверное, не самой простой; тем не менее надеюсь, что кому-то она поможет уложить в голове понятие комплексного сигнала.
Что такое комплексный сигнал
О комплексных сигналах и квадратурной обработке
В аналоговую эру радиолюбители обходили комплексные сигналы стороной, предпочитая бороться с зеркальными каналами в своих трансиверах при помощи многократного преобразования частоты. Причина этого в том, что пользу от квадратурной обработки можно получить лишь при достаточно точном выполнении операций, что при аналоговой реализации приводит к непропорционально большим издержкам. В конце прошлого века тему квадратурной обработки в трансиверах прямого преобразования активно продвигал В.Т. Поляков, где она применялась для подавления зеркального канала и формирования однополосного сигнала. Но только с появлением SDR, где большая часть обработки сигнала стала выполняться в цифровом виде, комплексные сигналы по-настоящему вошли в любительскую технику.
A = SQRT ( Re * Re + Im * Im ),
Ф = arctg ( Im / Re ) + С.
Эти соотношения позволяют в любой момент времени непрерывно и точно извлекать из принятого вещественного сигнала информационные компоненты: огибающую A и полную фазу Ф (по модулю 2 пи), если известны действительная и мнимая части комплексного сигнала. То есть, выполнять демодуляцию.
Обратные соотношения: Re = A Cos Ф, Im = A Sin Ф позволяют выполнять модуляцию.
Из аналитического сигнала можно получить комплексную огибающую (и наоборот) путем сдвига спектра в соответствующую сторону, т.е. простым умножением на комплексную экспоненту. Вещественный сигнал восстанавливается из аналитического простым отбрасыванием мнимой части. Примеры спектров обеих разновидностей комплексных сигналов можно посмотреть в следующем сообщении по теме о преобразовании спектров. Схема 3 в случае сдвига спектра вправо выполняет преобразование комплексной огибающей к аналитическому сигналу. Там же на схеме 4 дан пример восстановления вещественного сигнала из комплексной огибающей через промежуточное (но неполное) преобразование его к аналитическому сигналу.
Конечно, сами понятия положительной и отрицательной частоты, а также двустороннего спектра существуют только теоретически, когда мы рассматриваем сигналы через призму комплексных математических моделей. Но они нам дают в руки мощный инструмент анализа, который позволяет обобщить множество частных случаев.
О спектральных преобразованиях вещественных и комплексных сигналов
Для того, чтобы преобразовать (т.е. линейно сдвинуть по оси частот вправо или влево на величину Wo = 2 пи Fo рад/сек) симметричный спектр вещественного сигнала s(t), этот сигнал нужно умножить на комплексную экспоненту соответственно положительной или отрицательной частоты Wo:
Схема 2 применяется в классическом SDR, DDC, DFT и т. д.
Схема 1 применяется, если требуется инвертировать спектр комплексной огибающей.
Все рассмотренные преобразования при условии их точного выполнения не приводят к появлению зеркальных каналов. Однако, опасность зеркального канала имеется в схеме 4 в случае, если перед отбрасыванием мнимой части спектр комплексного продукта (как бы вычисляемого по схеме 3) не будет состоять целиком из частот одинакового знака.
Если все наши сигналы являются дискретными (цифровыми), то функциональные схемы преобразователей остаются прежними. Однако при этом все спектры на картинках должны быть нарисованы периодическими в обе стороны по частоте. Период повторения спектра дискретного сигнала равен частоте дискретизации.
Спектральные преобразования вещественного сигнала
Спектральные преобразования комплексного сигнала
О зеркальном канале в традиционном SDR и DDC SDR
В SDR приемниках применяется квадратурное преобразование частоты, это значит, что теоретически зеркального канала в них быть не должно. Но почему же в традиционном SDR (см. рис.) всё-таки присутствует зеркальный канал, несмотря на комплексный выходной сигнал квадратурного преобразователя?
— неидентичность амплитуд синуса и косинуса у генератора LO;
— отличие разности фаз синуса и косинуса у генератора LO от требуемых 90 градусов;
— неидентичность аналоговых перемножителей между собой;
— неидентичность АЧХ и ФЧХ аналоговых фильтров в цепях синфазного и квадратурного каналов преобразователя;
— неидентичность каналов звуковой карты.
При цифровой же реализации квадратурного преобразователя в DDC SDR, построенном по принципу «АЦП к антенне», все операции обработки сигнала в нём выполняются в цифровом виде и выполняются точно (с учетом погрешности вычислений из-за ограниченной разрядности) и абсолютно идентично в обоих каналах I и Q. Синус и косинус в блоке DDS (direct digital synthesizer) также формируются достаточно точно. Поэтому в DDC SDR приемнике зеркальный канал подавлен более чем на 100 дБ, и его не видно под шумами. Зеркальный канал появится, если в такой преобразователь искуственно внести погрешность, например, изменить порядок фильтра в одном из каналов. Или внести любую другую погрешность в вычисления.
Но в DDC SDR есть другие причины побочных каналов приема. Они появляются как следствие неграмотного проектирования дециматора и в принципе устранимы.
Принцип работы SDR приемника с DDC дециматором
Рассмотрим типовую структуру КВ цифрового приемника с DDC дециматором.
Для конкретности пусть частота дискретизации АЦП будет 100 МГц, а ширина целевой полосы выходного сигнала 2 МГц. Берем «с потолка» запас 0,5 МГц на неидеальность децимирующего фильтра, итого получаем частоту дискретизации комплексного выходного сигнала 2,5 МГц. Таким образом, в процессе обработки требуется понизить (децимировать) частоту дискретизации в 40 раз. Вся обработка принятого сигнала (после АЦП) выполняется вычислительными алгоритмами цифровой обработки сигналов (ЦОС), то есть, достаточно точно.
На выходе АЦП мы имеем вещественный дискретный сигнал с симметричным относительно нуля периодическим спектром (период 100 МГц). Квадратурный преобразователь (DDS и два умножителя) формирует из этого вещественного сигнала комплексный дискретный сигнал и линейно сдвигает его спектр по оси частот так, чтобы центральная частота целевой полосы стала нулевой промежуточной частотой. При этом периодичность спектра сохраняется, но он перестает быть симметричным (это и понятно, сигнал стал комплексным), см. рисунок.
На картинке красным цветом показаны полосы частот, которые нас не интересуют вообще и где АЧХ может быть абсолютно любой (это и не целевая полоса и не алиасы), зеленым цветом близ нулевой частоты показана половина 2-мегагерцовой целевой полосы, также зеленым цветом вокруг провалов на частотах кратных новой частоте дискретизации 10 МГц (10, 20, 30, 40, 50 МГц) показаны 2-мегагерцовые участки «алиасов». К сожалению, эти провалы АЧХ не столь широки как нам хотелось бы, и на краях полезной полосы алиас первого порядка будет подавлен всего на 19 дБ. Это очень плохо.
Второй FIR каскад выгодно раздробить на подкаскады, например, из полудиапазонных фильтров. Это нам даст в целом ещё бОльшую экономию по умножителям.
Если общий коэффициент децимации DDC должен быть небольшим (менее 8-10, т.е. на выходе нам нужна широкая полоса), то CIC уже не подойдет, и надо будет раскошеливаться на FIR с умножителями, который также выгодно дробить на каскады.
DDC можно реализовать и без использования ПЛИС и избежать связанных с этим граблей, временнЫх и материальных затрат освоения программных пакетов разработки прошивок FPGA. Промышленность супостатов выпускает готовые микросхемы DDC, которые можно извне программировать в рамках выполняющейся функции (программировать фильтры, настраивать коэффициенты децимации каскадов, перестраивать синтезатор и т. д.). В этом случае структура DDC ЦРПУ будет состоять из УРЧ, входного ФНЧ, АЦП, микросхемы DDC, контроллера и интерфейса с ЭВМ.
О подводных камнях.
1. Если ошибиться с выбором параметров децимирующих фильтров, то можно нарваться на внеполосные каналы приема, которые получаются из недостаточно подавленных алиасов.
2. Не надо забывать, что каждый каскад децимации должен сопровождаться расширением разрядности данных. Чем уже полоса, тем больше требуется разрядов для понижения шума округления (здесь действует принцип обмена разрядности на ширину полосы сигнала, см. подробнее в теме о выборе разрядности АЦП).
3. Не надо скупиться на разрядности умножителей в квадратурном преобразователе по входу LO опорного сигнала. И сам опорный сигнал, формируемый методом прямого цифрового синтеза DDS (Direct Digital Synthesizer), должен быть точным, насколько это возможно. Для повышения его точности часто применяют интерполяцию по-Тейлору, если в ПЛИС есть лишние умножители. Иногда недостаточно точный опорный сигнал искусственно зашумляют (dithering, дизеризация) для уменьшения спуров, при этом мощность спуров размазывается по частоте, незначительно повышая шумовой пьедестал. Чтобы сэкономить память ПЛИС и не хранить в ней таблицу значений функции косинуса, для вычисления этих значений иногда применяют итерационный алгоритм CORDIC.
Конечно, в таком коротком очерке нельзя рассмотреть все тонкости и нюансы реализации DDC и особенности аппаратной реализации ЦОС на ПЛИС. Но основной принцип и основные грабли должны быть понятны.
Ликбез про нерекурсивные (FIR, КИХ) и рекурсивные (IIR, БИХ) фильтры: http://www.dsplib.ru/content/filters/ch10/ch10.html
X(n) = [ x(k) exp (-i Wn k) ]
Не забываем, что спектр дискретного сигнала периодический, а период спектра N здесь равен нормированной частоте дискретизации 2 пи. Отсюда легко вычисляются все частоты Wn как в нормированном, так и в натуральном виде.
Что мы здесь видим? А видим то, что в этой модели есть много общего с DDC (т.е. это немного не доделанный DDC):
Можно ли побороть этот недостаток? Да, можно. Для этого нужно заменить прямоугольную взвешивающую (weighting) оконную функцию на такую, спектр которой обладал бы нужными нам свойствами. Подобных окон напридумано много разных (оконные функции Чебышева, Хэмминга, Ханна, Кайзера, Блэкмана и т.д. и.т.п.), для всех их характерно плавное спадание по краям во временной области и сильное подавление боковых лепестков спектра в частотной области. Иными словами, перед выполнением FFT каждый блок входного сигнала надо бы умножать на такого рода плавное взвешивающее окно. При этом АЧХ всех частотных каналов будут абсолютно идентичными и зависеть только от формы выбранной оконной функции (точнее, от модуля ее спектра).
Таким образом, при помощи вычислительно эффективного ядра N-точечного дискретного преобразования Фурье (Fast Fourier Transform), реализуется как бы «многоканальный DDC» в виде банка полосовых фильтров WOLA, в котором все N частотных каналов (а их могут быть сотни и тысячи), вычисляются совместно и одновременно. При этом фильтр, формирующий АЧХ всех каналов, является общим и вычисляется только один раз при взвешивании блока входного сигнала. Всё это в отличие от традиционного DDC, в котором каждый частотный канал вычисляется отдельно и должен иметь собственный децимирующий фильтр.
Рассмотрим один парадоксальный вопрос из области цифровой обработки сигналов, по которому неспециалисты часто впадают в заблуждение.
Существенным в этой авантюре является то, что в процессе поэтапной обработки высокоскоростного и низкоразрядного сигнала с АЦП, с переходом на каждом этапе к более узкой полосе и более низкой частоте дискретизации (эта операция называется децимацией), мы не должны забывать о соответствующем повышении разрядности данных при их цифровой фильтрации перед выполнением непосредственно прореживания данных.
Но не надо забывать, что в частотной области мощность шума квантования равномерно распределена по всей полосе Найквиста. И чем шире эта полоса по отношению к нашей полезной целевой полосе, тем меньшая доля мощности шума квантования попадёт в эту нашу полезную полосу. И тем выше будет итоговое отношение сигнал-шум. Как видите, всё просто.
В этом и заключается принцип обмена разрядности АЦП на частоту дискретизации, позволяющий гибко подходить к выбору аппаратной части. Если мы хотим сэкономить на одном параметре, то должны повысить требования к другому. И наоборот.
О работе приемника DDC и передатчика DUC в высших зонах Найквиста
Из теории дискретных сигналов известно, что:
2. При дискретизации и восстановлении вещественного видеосигнала (спектр которого ограничен только сверху) частота дискретизации Fs по-Котельникову должна быть больше удвоенной ширины спектра этого сигнала. Если сигнал комплексный, то требования к Fs смягчаются в два раза. Спектр видеосигнала должен целиком находиться в первой зоне Найквиста. Восстановление выполняется фильтром нижних частот, полоса пропускания которого целиком должна находиться также в первой зоне Найквиста.
3. При дискретизации и восстановлении вещественного радиосигнала (спектр которого ограничен и снизу и сверху) частота дискретизации Fs также должна быть больше удвоенной ширины спектра этого сигнала. Спектр радиосигнала должен целиком находиться в любой выбранной зоне Найквиста. Восстановление выполняется полосовым фильтром, полоса пропускания которого также должна целиком находиться в любой (возможно, что и другой) зоне Найквиста.
Этот случай (п. 3) называется субдискретизацией, при этом частота дискретизации не удовлетворяет условию Котельникова для видеосигнала, а может быть во много раз ниже. Применяя только операции дискретизации и восстановления, можно из видеосигнала получить радиосигнал и наоборот, а также гонять радиосигнал между разными зонами Найквиста. Это свойство дискретных сигналов позволяет нам использовать цифровой DDC КВ приемник для приема УКВ радиосигналов. А также непосредственно формировать УКВ радиосигнал в DUC КВ передатчике.
В реальных АЦП и ЦАП дискретизирующий импульс далек от идеала, т. к. имеет конечную ненулевую длительность ( To ) и форму, отличную от прямоугольной. Это приводит к искажениям АЧХ преобразователей ЦАП/АЦП, потере энергии сигнала в высших зонах Найквиста, ухудшению отношения сигнал-шум приемника.
На рисунке приведены нормированные спектры дискретизирующего прямоугольного импульса для трех случаев:
— идеальный дискретизирующий импульс дельта-функция (зеленый);
— неидеальный импульс с длительностью в четверть интервала дискретизации To = Ts / 4 (синий);
— наихудший случай, когда длительность дискретизирующего импульса равна интервалу дискретизации To = Ts (красный). Этот случай характерен для ЦАП со ступенчатым выходным сигналом и для интегрирующих АЦП.
Мы видим, что в наилучшем случае идеальный дискретизирующий импульс имеет постоянный единичный спектр (зеленый график с бесконечно широким главным лепестком спектра), и его умножение на спектр исходного сигнала не приведет ни к малейшим искажениям АЧХ.
В наихудшем случае (красный график с узкими лепестками спектра) даже при работе только в первой зоне Найквиста мы будем иметь подавление сигнала на частоте Найквиста 4 дБ. О работе в других зонах Найквиста здесь и речи быть не может, т.к. в них затухание сигнала может быть очень большим или даже бесконечным.
Выводы. Для работы в высших зонах Найквиста:
1. Следует выбирать АЦП с малой длительностью дискретизирующего импульса (АЦП с малой апертурой). В этом смысле качество АЦП определяет та его аналоговая часть, которая называется устройством выборки и хранения (УВХ, sample and hold circuit), выборка сигнала в котором должна выполняться очень быстро, в течение малой доли интервала дискретизации.
2. ЦАП должен формировать на выходе (перед полосовым фильтром) не ступенчатый дискретный сигнал, как это обычно происходит, а сигнал в виде коротких прямоугольных импульсов.
Зачем нужна рандомизация выходного кода АЦП в приемнике DDC-SDR
Зачем это нужно? А нужно это затем, чтобы в некоторой степени нивелировать последствия плохой развязки аналоговых и цифровых цепей АЦП из-за неудачной разводки печатной платы.
Рандомизация нужна для того, чтобы убрать периодичность переключения разрядов выходного кода и сделать их случайными. При этом наводка никуда не девается, но она перестает быть периодичной, и мощность шпор ровным тонким слоем размазывается по спектру в частотной области. Естественно, это приводит к небольшому повышению шумового пьедестала и соответствующему ухудшению чувствительности приемника.
Нужна ли дизеризация в DDC-SDR приемнике
Ранее мы уже рассматривали применение дизеризации в цифровом синтезаторе частоты DDS для декорреляции ошибки квантования выходного сигнала синтезатора. Зачем же дизеризация нужна в АЦП? Ведь на первый взгляд зашумление полезного сигнала может только всё ухудшить. На самом деле резон есть.
Этот прием применяется в случаях, когда при эксплуатации устройств допустимо наличие на входе одного или нескольких периодических сигналов, а собственные шумы устройства малы. Например, в измерительных приборах, спектроанализаторах, профессиональной звуковой аппаратуре.
В цифровом приемнике применять дизеризацию не требуется, если, конечно, этот приемник использовать по назначению, а не в качестве измерительного прибора. Но дизеризация окрашенным шумом нужна при измерении технических параметров цифрового приемника, когда эфирного шума нет, а испытательные сигналы подаются от генератора. При этом спектр вносимого шума выносят за пределы рабочего диапазона частот приемника.
Об инверсии спектра дискретного (цифрового) сигнала
На практике часто возникает потребность проинвертировать спектр дискретного сигнала. Например, преобразовать сигнал USB в LSB. Или устранить нежелательные последствия спектральной инверсии после операций преобразования спектра или дискретизации в четных зонах Найквиста.
С учетом того, что спектр дискретного сигнала является периодическим, то для инверсии спектра вещественного сигнала нужно его сдвинуть вправо или влево (без разницы) на величину сдвига, равную частоте Найквиста FN. Для этого наш сигнал надо умножить на комплексную экспоненту с частотой Найквиста. При этом спектральная составляющая нулевой частоты переходит на частоту Найквиста и наоборот. А спектр в целом инвертируется относительно центральных частот каждой зоны Найквиста.