Что такое коэффициент диффузии

Поскольку вязкость растворителя является функцией температуры, зависимость коэффициента диффузии от температуры нелинейна.

В твердых телах

Коэффициенты диффузии в твердых телах обычно в несколько тысяч раз меньше, чем коэффициенты диффузии в жидкостях.

D ₀ можно приблизительно рассчитать как:

Однако рекомендуется определять коэффициенты диффузии в твердых телах, в частности, экспериментальным путем.

Эффективный коэффициент диффузии

Кажущийся коэффициент диффузии

Для линейной сорбции он рассчитывается следующим образом:

Источник

Коэффициенты диффузии

Коэффициенты молекулярной диффузии. Для газов со сходны­ми молекулами (имеющими почти равные массы и эффективные сечения) Максвелл получил следующее выражение для коэффици­ента молекулярной диффузии:

,

Выше отмечалось, что в шахтных условиях молекулярная диф­фузия имеет подчиненное значение в процессе переноса газов. Кроме того, изменения содержания газов, температуры и давления воздуха в активно вентилируемых горных выработках относитель­но невелики. Поэтому при решении задач газопереноса в шахтах можно принимать D_м = const.

Следует иметь в виду, что коэффициент молекулярной диффу­зии газа в среду равен коэффициенту молекулярной диффузии сре­ды в этот газ. Средние значения коэффициентов молекулярной диффузии некоторых газов приведены ниже.

Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с

Аммиак в воздухе 0 0,217

Углекислый газ в воздухе 0 0,142

Коэффициенты турбулентной диффузии. В теории турбулент­ности коэффициент турбулентной (или вихревой) диффузии вво­дится как некоторый коэффициент пропорциональности. При этом для его выражения используют три принципиально различных подхода.

Известно, что произведение вектора, каким является в формуле (6.11) градиент содержания, на некоторую величину [в выражении (6.11) ею является коэффициент турбулентной диффузии D_т] может дать вектор [в формуле (6.11) это вектор потока газа] лишь в случае, если эта величина является скаляром или тензором. Коэффициент турбулентной диффузии не может быть скаляром в связи с тем, что в случае равенства производных от содержания по направлениям компоненты газовых потоков по этим направлениям также были бы равны, что в условиях существенно неоднородного и неизотропного турбулентного воздушного потока в выработках невозможно вслед­ствие различия компонент пульсационных скоростей.

(6.17)

(6.18)

Выражение (6.17) может быть записано в свернутом виде

. (6.19)

где правая часть представляет собой сумму трех значений , получающихся, если фиксировать i, а j придавать последовательно значения х, у, z (суммирование по двойному индексу).

Выражение (6.19) обычно упрощают, принимая, что оси Ох, Оу, Оz, являются главными осями тензора. Если тензор симмет­ричный, то и, следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется только диаго­нальными компонентами D_тxx,D_тyу,D_тzz.

Для однородной и изотропной турбулентности имеет место сферическая симметрия газовых потоков. Следовательно,

. 6.20)

В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.

Следует отметить, что принятие тензора D_тy симметричным для случая движения воздуха в горной выработке является также опре­деленным допущением. Для неоднородного и неизотропного турбулентного потока, каким является вентиляционный поток в выра­ботке, тензор коэффициентов турбулентной диффузии будет несимметричным. Ниже отмечается, что компоненты тензора коэф­фициентов турбулентной диффузии могут быть выражены через усредненное произведение (корреляцию) мгновенных значений пульсационной скорости и_niи пути перемешивания для содержа­ния (здесь i,j = х, у, z, и_ni = и_п; u_пу =v_n u_nу =w_n). Для симметричного тензора должны соблюдаться равенства , что приводит к соотношениям . Однако для неизотроп­ных вентиляционных потоков корреляция несимметрична относительно i и j, а это не отвечает приведенным равенствам. Не­симметричность тензора коэффициентов турбулентной диффузии для шахтных вентиляционных потоков косвенно доказывается фак­тором различной интенсивности турбулентной диффузии в разных направлениях.

Отмеченные приближения, которые применяют при решении практических задач шахтной газовой динамики, в настоящее время не имеют оценки. Применительно к условиям диффузии в призем­ном слое атмосферы погрешности незначительны (в некоторых случаях они составляют 15-20 %). Однако степень анизотропности шахтных вентиляционных потоков значительно выше атмосфер­ных, что может привести к необходимости учета факта несиммет­ричности тензора диффузии.

Второй способопределения коэффициента турбулентной диффузии основан на использовании теории Прандтля о пути перемешивания, согласно которой компоненты потока газа можно определять как сумму трех слагаемых:

. (6.21)

Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга

(6.22)

В случае плоского потока ( ) коэффициент турбу­лентной диффузии в поперечном к основному движению направ­лении определяется из выражения (6.21):

,

.

В случае изотропной турбулентности можно принять L_cx = L_су, что приводит к равенству

, (6.23)

т.е. в этом частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.

Если в уравнении (6.23) v_n выразить по Прандтлю через путь перемешивания для импульса L, то для плоского потока получим вы­ражение

, (6.24)

где среднее квадратичное значение v_п

;

а₁ — коэффициент пропорциональности между u_n и v_п. Если принять, что

. (6.26)

Величина для случая диффузии газа является аналогом пути перемешивания для импульса по Карману [21] (не тождественному прандтлевскому пути перемешивания).

Из уравнения видно, что, имея какие-либо гипотезы отно­сительно величин l_С( ), можно, измеряя в потоке, опреде­лить коэффициент турбулентной диффузии. Наиболее простым до­пущением является отождествление l_с путем перемешивания для импульса l; во многих случаях такое приближение дает вполне удовлетворительные результаты.

Следующим шагом в этом направлении является принятие пропорциональности между l_с и l; значение коэффициента пропор­циональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объеме и в среде. По имеющимся сведениям, этот коэффициент больше 1; для азота он равен

, для гелия

. Имеются попытки оце­нить l_с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затуха­ние турбулентности под действием объемных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.

Наконец, третий способ определения коэффициента турбулент­ной диффузии основан на представлении процесса диффузии как случайного движения жидких частиц, первоначально сконцентри­рованных в некоторой области. Бэтчелор показал, что и в этом слу­чае коэффициент турбулентной диффузии является тензором вто­рого ранга. Запись его (для случая однородной турбулентности), однако, имеет иной вид:

,

Представление коэффициента турбулентной диффузии в виде тензора имеет в основном теоретическое значение. В настоящее время практически ничего неизвестно о недиагональных компо­нентах этого тензора. Изученные в какой-либо степени компоненты тензора диффузии — это диагональные компоненты D_тxx,D_тyу,D_тzz, которые в дальнейшем и будут рассматриваться. Для простоты на­писания обозначим D_тxx = D_тхи т.д.

Данные о коэффициентах турбулентной диффузии в горных вы­работках немногочисленны, что в значительной степени объясня­ется техническими трудностями их измерений. Имеющиеся сведе­ния частично основываются на данных о коэффициенте турбулент­ного обмена для импульса и предположении о пропорциональности ему коэффициента турбулентной диффузии [24].

К.М. Тумаковой были установлены автомодельность попереч­ных составляющих относительного коэффициента турбулентной диффузии:

В ряде случаев хорошие результаты получаются, если использо­вать средние по высоте (ширине) выработки значения коэффициен­тов турбулентной диффузии.

Коэффициент турбулентной диффузии может быть рассчитан по характеристике рассеивания газа. Для случая однородной и изо­тропной турбулентности в равномерном потоке воздуха (без гради­ента скорости) распределение содержания газа в газовом факеле за источником газовыделения описывается гауссовой кривой ошибок:

, (6.27)

Если в формуле (6.27) с выразить как часть с_mах, то из нее можно определить D_т. Например, полагая с = с_mах/2, получим

D_т= , (6.28)

где — расстояние от оси газового факела до точки в его попе­речном сечении, в которой с = с_mах/2.

Все величины в уравнении (6.27) поддаются прямому измере­нию: и и х измеряют непосредственно на месте эксперимента, — по графику зависимости с(у), построенному на основании измерения содержания на расстоянии от источника, равном х.

Поскольку выражение (6.27) справедливо лишь для однородной и изотропной турбулентности, то в силу равенства (6.20) по нему определяют диагональные члены тензора коэффициентов диффу­зии, не зависящие от координат.

Известно, что турбулентность шахтных вентиляционных пото­ков неизотропна; ее можно считать однородной лишь в направле­нии основного течения (при неизменных форме сечения, шерохо­ватости стен и расходе воздуха). Поэтому для шахтных условий выражение (65.28) дает, во-первых, неточные значения D_ти, во-вторых, лишь некоторые средние значения поперечной компонен­ты тензора D_тy. Погрешности будут возрастать по мере приближения источника газа от оси потока к стенке, так как при этом источ­ник попадает в области все большего градиента скорости, т.е. все большей анизотропии турбулентности.

Значения компоненты D_тy·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:

модель штрекообразной выработки, площадь поперечного сечения13,4×14,2 см, средняя скорость воздушной струи 0,25 м/с. 1,1

скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с. 2,4÷4,1

Для расчета продольных D_тx и поперечных D_тy компонент коэффициента турбулентной диффузии метана в воздухе можно использовать приведенные ниже формулы.

Для штрекообразных выработок

; (6.29)

, (6.30)

где , а число Рейнольдса не рассчитывается по .

Для элемента S (м 2 ) поперечного сечения штрекообразной выра­ботки при средней скорости по площади элемента и’_ср (м/с):

. (6.31)

Для круглых гладких и шероховатых труб

, (6.32)

Для широкого прямого канала

. (6.33)

Для диффузии углекислого газа в воздухе

, (6.34)

В формулах (6.29)-(6.33) использованы следующие обозначения:

Н- высота выработки, м;

— динамическая скорость, м/с;

В 1951 г. В.Н. Воронин показал, что при движении газового об­лака по выработке его продольная деформация определяется про­филем скоростей. В 1953 г. Дж. Тэйлор опубликовал решение зада­чи продольной турбулентной диффузии примеси от мгновенного источника в круглой трубе. Им было показано, что продольное рас­сеивание примеси, вызываемое градиентом скорости, существенно больше, чем рассеивание, вызываемое турбулентными пульсация­ми скорости. Дж. Тэйлор предложил оценивать суммарный эффект продольного рассеивания примеси относительно плоскости, дви­жущейся со средней скоростью потока, коэффициентом, который получил название эффективного коэффициента диффузии D_Э:

Газовый поток, вызываемый градиентной диффузией, определя­ется выражением

, (6.36)

где , — отклонения соответственно содержания и скорости потока в точке от их средних по поперечному сечению значений;

;

;

Коэффициент D_э может быть определен в точке или быть усред­ненным.

Исследования С.П. Грекова и А.Е. Калюсского позволили полу­чить следующее выражение для эффективного коэффициента диф­фузии штрекообразной выработки:

; (6.37)

. (6.38)

К.Ю. Лайгна и Э.А. Поттер в своих последних работах* дают следующее выражение для среднего по поперечному сечению эф­фективного коэффициента диффузии:

, (6.39)

где , а число Рейнольдса рассчитывают по . Зна­чение D_э можно определить также по графикам, представленным на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Графики к определению эффективного коэффициента турбулентной диффузии

Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D_э, порядка нескольких м 2 /с.

Дж. Тэйлор и К.Ю. Лайгна, исследуя влияние изогнутости кана­ла на коэффициент диффузии, сделали вывод, что этот фактор мо­жет увеличивать D_э до двух раз.

Для изучения газодинамических процессов при действии сво­бодных струй В.Н. Воронин применил коэффициент турбулентной диффузии k_т, определив его как отношение среднего содержания газа в поперечном сечении ядра постоянной массы свободной струи с_як среднему содержанию на ее границе с_гр:

. (6.40)

Значения k_т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.

Основываясь на подобии полей скоростей и содержаний в ядре постоянной массы свободной струи, В.Н. Воронин получил следующие выражения для коэффициента турбулентной диффузии чистых (не содержащих газа в начальном сечении) свободных струй:

для основного участка круглой струи

для основного участка плоской струи

В приведенных формулах

(6.43)

, (6.44)

; (6.45)

Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитан­ные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.

Приведенные выражения справедливы для свободных струй в неограниченном пространстве. В условиях горных выработок свободные струи часто распространяются в ограниченных объемах, при этом воздухообмен между струей и окружающим воздухом определяется не только структурой струи, но и структурой воздушных потоков в окружающей ее среде, которая в свою очередь зависит от геометрии ограничивающих поверхностей и их шероховатости и в общем случае отлична от таковой в неограниченных объемах. В результате коэффициенты турбулентной диффузии струй в ограниченных пространствах отличаются от таковых в неограни­ченных пространствах. Впервые это было отмечено Ю.М. Первовым, который предложил учитывать его соответствующим измене­нием коэффициента структуры а.

для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при

Источник