Бесконечность
Бесконечность чужда нашему непосредственному опыту, и в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ.
Также бесконечность неразрывно связана с обозначением бесконечно малого, к примеру, ещё Аристотель сказал:
«… всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений не задали, всегда потенциально можно поделить на большее число.» (Физика III, 6)
Вообще Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и актуальную (под актуальной подразумевая реальность существования бесконечных вещей) и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа, а также указав на пять источников представления о ней:
Далее бесконечность получила развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность бога не столько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии это атрибут пространства и времени.
Современная физика вплотную подходит к отрицаемой Аристотелем актуальности бесконечности — то есть доступности в реальном мире, а не только в абстрактном. Например, есть понятие сингулярности, теснокак связанное с чёрными дырами и теорией большого взрыва: это точка в пространстве—времени, в которой масса в бесконечно малом объёме сосредоточена с бесконечной плотностью. Уже есть солидные косвенные доказательства существования чёрных дыр, хотя теория большого взрыва находится ещё в стадии разработки.
Цитаты
Ссылки
ca:Infinit cs:Nekonečno da:Uendelig eo:Infinito et:Lõpmatus he:אינסוף jbo:ci’i lt:Begalybė nl:Oneindig pl:Nieskończoność simple:Infinity sl:Neskončnost sr:Бесконачност sv:Oändlighet uk:Нескінченність
Тайны чисел: можно ли понять математическую бесконечность ∞
Представить себе что такое бесконечность, кажется, невозможно. Однако математики утверждают, что эта наука дарит человеку шанс побыть с бесконечностью «на ты». Так, математик Алексей Савватеев называет математику шагом через бесконечность. «Освоение математики, – пишет он в своей книге, – это когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику». Чтобы понять, как ученые представляют себе математическую бесконечность, давайте рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, … которую потенциально можно продолжать бесконечно. Подобные непрерывные процессы, как правило, являются первыми примерами такого сложного понятия как бесконечность. Между тем, в математике процессы, не имеющие предела или конечной точки, встречаются довольно часто, а сам вопрос о бесконечности уходит своими корнями в математику Древней Греции.
Математика позволяет наладить общий язык с таким сложным понятием как бесконечность.
История бесконечности
Самыми ранними размышлениями о математической бесконечности, вероятно, являются парадоксы греческого философа Зенона. Один из них (написан в пятом веке до нашей эры) и касается Ахиллеса, самого быстроногого из всех греков, который должен бежать наперегонки с черепахой. Согласно парадоксу, быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.
Аристотель также был обеспокоен этой и другими загадками, касающихся бесконечной делимости. Вселенная, думал он, не может быть бесконечно большой. Если бы это было так, то ее половина тоже была бы бесконечной. Но что делает всю бесконечность больше ее половины? По-видимому, ничего; они обе бесконечны, поэтому должны быть одного размера. Но они не могут быть одинакового размера, так как одна половина больше другой. Аристотель выдвигает ряд других возражений и приходит к выводу, что Вселенная должна быть конечной. Глядя на звезды над собой, он приходит к выводу о том, что космос состоит из огромной (но конечной) сферы с Землей в центре.
Долгое время считалось, что бесконечность – нельзя применять в математической науке.
Однако, стоило Аристотелю это предложить, как кто-то спросил, что находится на другой стороне сферы. Тем не менее, эта идея нравилась людям на протяжении более чем тысячи лет, что в целом неплохо. В третьем веке до нашей эры Архимед подсчитал, сколько песчинок потребуется, чтобы заполнить вселенную Аристотеля, а в Средние века Святой Фома Аквинский поддержал Аристотеля, и этот взгляд стал основным для церкви.
Все изменилось, когда Николай Коперник заявил о том, что Земля – не центр Вселенной. Позже в семнадцатом веке Галилео Галилей был признан опасным мыслителем, так как открыто размышлял о бесконечности. Мир бесконечен, считал он, а материя вечна. Многим позже, в 1920-е годы немецкий математик Дэвид Гильберт придумал известный мысленный эксперимент, чтобы показать, как сложно осознать концепцию бесконечности.
Хотите всегда быть в курсе последних новостей из мира популярной науки и высоких технологий? Подписывайтесь на наш Telegram канал, чтобы не пропустить свежие анонсы новостей!
Парадокс Бесконечного отеля
Итак, предположим что вы – портье в отеле под символичным названием «Бесконечность». Все комнаты отеля, коих бесконечное множество, полны, но вдруг появляется новый гость. Неужели придется прогнать его? Нет, все что нужно – переместить гостя из комнаты 1 в комнату 2, а гостя из комнаты 2 — в комнату 3 и так далее. Вуаля – первая комната теперь свободна для нового гостя. Но что делать, если появится бесконечное множество новых гостей?
Оказывается, вы по-прежнему можете быть любезны. Жилец из первой комнаты переходит в комнату номер 2, а жилец из второй комнаты переходит в комнату три и так далее… до бесконечности. Так как номера комнат удвоились, и таким образом стали четными числами, вы теперь можете поместить бесконечно много новых гостей в (теперь свободные) нечетные номера. Четных чисел должно быть столько же, сколько и чисел, поскольку существует бесконечное число комнат, независимо от того, четные они или нечетные. В результате, мы можем поместить все числа без остатка только в «комнаты», занятые четными числами. Этот мысленный эксперимент известен как Парадокс бесконечного отеля, который отлично иллюстрирует свойства бесконечных множеств.
Кадр из лекции TED «Парадокс бесконечного отеля», рекомендуем к просмотру.
По мнению создателя теории множеств, математика Георга Кантора, существует множество чисел, и это бесконечное количество чисел описывает многие типы чисел. Например, в парадоксе количество чисел было таким же, как и число четных чисел (и нечетных чисел, и простых чисел, и кратных миллиарду и т. д.). Сегодня это кажется очевидным, однако не было очевидным для Аристотеля и его последователей, которые считали актуальную бесконечность недопустимым научным понятием.
Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством.
Кантор также доказал, что число дробей равно этому бесконечному числу, которое он назвал алеф-нуль. Самое замечательное, что он доказал (с помощью так называемого диагонального аргумента), что существует более одного бесконечного числа.
Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.
Работа Кантора встретила значительное сопротивление, но окончательно победила и теперь почти повсеместно принята. Остается крошечное меньшинство математиков, называемых интуиционистами или конструктивистами, которые не верят, что мы действительно можем понять идею бесконечной тотальности. В двадцатом веке к ним присоединились философы, которые задались вопросом о том, можно ли понять канторовский взгляд на бесконечность. А что вы думаете по этому поводу? Ответы будем ждать здесь, а также в комментариях к этой статье.
Виды бесконечностей и вынос мозга
Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.
Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые
Известные факты
Малоизвестные факты
В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, «множество всех множеств» не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.
Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество <> и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью <<>>, двойку как <<<>>> итд. <5,2>есть <<<<<<<>>>>>>, <<<>>>>. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.
Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.
Единственная операция, которая определена в теории множеств, это 
— символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:
То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты
Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это <
,
Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.
Гипотеза континуума — CH
Существует ли мощность между 
и 
? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.
Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между и есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!
Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:
Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет
Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель
Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.
Все выше и выше.
Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до 
— бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому не может быть последней!
Чтобы получить 
надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до 
, после чего, естественно, идет 
Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс 
. Как вам такая мощность, например: 
? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:
но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем
Сразу большой шаг
Далее мы пойдем быстрее:
У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?
Недостижимые мощности
Что если есть мощность настолько большая, 
, что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.
Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.
Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)
И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.
И да, это «множество всех множеств» теории ZFC. В этом видео в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.
Еще дальше.
Разумеется, мы можем пойти дальше, итерируя 
. Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.
Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:
Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?
Иерархия больших мощностей.
Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но есть и другие способы определять мощности, не только через недостижимость:
За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно. Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.
Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:
Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы доказать факт о табличках.
Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован тут.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Полезное
Смотреть что такое «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ» в других словарях:
Бесконечность в математике — Бесконечность в математике. «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции»… … Большая советская энциклопедия
Бесконечность — I Бесконечность в философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б., выступающая как неограниченность… … Большая советская энциклопедия
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ — одна из осн. абстракций (идеализации) классич. (теоретико множеств.) математики и классич. математич. логики. Состоит в отвлечении от невозможности полного обозрения к. л. бесконечного образования (бесконечной совокупности элементовк. л.… … Философская энциклопедия
ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА — наука, занимающаяся анализом структуры высказываний и доказательств, обращающая основное внимание на форму в отвлечении от содержания. Определение «формальная» было введено И. Кантом с намерением подчеркнуть ведущую особенность Ф.л. в подходе к… … Философская энциклопедия
ФОРМАЛИЗМ в математике — одно из осн. направлений в основаниях математики (и логики), к рое в качестве гл. задачи в области обоснования математики считает доказательство непротиворечивости отд. математич. теорий и – в идеале – всей математики в целом. Задача эта… … Философская энциклопедия
ПРОСТРАНСТВО — фундаментальное (наряду с временем) понятие человеческого мышления, отображающее множественный характер существования мира, его неоднородность. Множество предметов, объектов, данных в человеческом восприятии одновременно, формирует сложный… … Философская энциклопедия
РАССЕЛ — (Russell) Бертран (1872 1970) англ. философ, ученый и общественный деятель. Лауреат Нобелевской премии по литературе (1950). Р. учился и в дальнейшем преподавал в Кембриджском ун те. Он неоднократно приглашался для преподавания в ун ты др. стран … Философская энциклопедия
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — математик, теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Осн. содержание классич. М. т. было разработано нем. математиком Г.… … Философская энциклопедия
КАНТОР — (Cantor), Георг (3 марта 1845 – 6 янв. 1918) – математик и мыслитель, создатель множеств теории, имеющей своим осн. объектом бесконечные множества. Род. в Петербурге. С 1872 – проф. ун та в Галле. Умер в Галле в психиатрич. клинике. К созданию… … Философская энциклопедия
КРОНЕКЕР — (Kronecker), Леопольд (7 дек. 1823 – 29 дек. 1891) – нем. математик. С 1883 – проф. ун та в Берлине. Интересовался вопросами искусства и философии. Филос. аспект взглядов К. выражен в его требовании ограничения понятия бесконечности [согласно К … Философская энциклопедия
Бесконечность
Бесконечность — сложная для понимания штука. В обычной жизни мы не встречаемся с чем-то у чего нет начала и конца.
Тем удивительные, что такая абстракция встречается так часто и в физике, и в математике и, конечно, в религии с философией, где, это как раз очень оправдано. Ведь только полет фантазии и может быть по-настоящему бесконечным.
Что такое бесконечность простыми словами
Это понятие используется везде и постоянно, но означает «бесконечность» всегда немного разное.
Бесконечность в математике
Развитие математики началось с геометрии, а это целиком прикладная наука: измерять землю для посевов, проектировать строительную площадку. Откуда же в геометрии бесконечность может взяться?
Она просто не нужна. Здесь она не имеет практического смысла…
И вот, что удивительно, еще в 300 году до Нашей Эры в «Началах» Эвклида уже есть упоминание о бесконечной прямой. В том смысле, что продолжать прямую можно бесконечно. Значит ли это, что первый человек в истории написавший труд о математике, создавший «Эвклиову геометрию», описал в нем бесконечность? Не совсем.
Да, прямая — бесконечна, а вот отрезок прямой имеет свой размер. Но на практике бесконечность прямой означала лишь то, что ее длинна не важна. Когда дело доходило до реальных измерений, все величины в геометрии имели свой размер.
Бесконечность бывает двух видов:
Потенциальная бесконечность — что-то что можно в принципе продолжать бесконечно.
Актуальная бесконечность — действительно бесконечная величина.
Например, ряд натуральных чисел бесконечен (можете попробовать посчитать сами), к любому числу х всегда можно добавить +1.
Бесконечность, это не число!
Хотя мы иногда и осуществляем с ним операции так же как и с числами. Но нельзя сказать, что есть число больше бесконечности
В математике считают что:
Простыми словами, бесконечность в математике, это не какое-то очень большое число, а специальная абстракция которая применяется когда это необходимо.
Знак бесконечности впервые появился в 17 веке. По есть несколько вариантов его происхождения:
Бесконечность в физике
Если математика целиком состоит из абстракций, то физика, конечно же, наука которая изучает реальность. Есть ли бесконечность в физике?
Может ли быть бесконечной сила, ускорение или масса? Наверное — нет. А напряжение или сила тока? Тоже нет? Но все-таки место для бесконечного найдется.
Например, условно бесконечной может быть амплитуда колебаний. Если частота вынужденных колебаний будет равна собственной частоте системы, произойдет резонанс, амплитуда будет увеличиваться до бесконечности, а значит система разрушится.
В релятивистской физике все еще интереснее. При движении частицы с массой не равной нулю со скоростью света, ее энергия стремится к бесконечности.
Но что интересно, в начальный момент Большого взрыва вселенная пребывала в состоянии сингулярности, когда температура вещества была бесконечной как и его плотность.
Но в большинстве случаев все зависит от решаемой задачи. Например, при расчетах орбит для спутников, массу земли считают бесконечной (потому, что она настолько больше массы спутника, что нет смысла учитывать эту разницу), а вот если рассматривать ту же массу в системе Земля — Луна, пренебречь ею уже не получится.
Бесконечна ли вселенная?
При этом мы не видим ничего, кроме счета направленного в сторону Земли. Если бы размер Вселенной был конечен, логично было бы ожидать, что свет обогнув конечное пространство вернулся бы назад. Но этого нет.
Мы действительно ограничены в наблюдениях и не можем видеть ничего за так называемым «горизонтом частиц» (его еще называют горизонтом космического света). Но это из-за того, что свет от самых дальних звезд еще не успел дойти до нас с момента Большого взрыва. А что за горизонтом? Бесконечность? Или все-таки существуют границы?
Есть несколько вариантов:
Что же говорит наука?
Критическая плотность
Ученые космологи знают как рассчитать конечность пространства. Для этого используется показатель «плотности реликтового излучения». И это 0,00001 массы протона в одном кубическом сантиметре вещества, очень немного. Для измерения этого значения в 2001 году был запущен специальный аппарат WMAP ( Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), так что информация проверена.
В существующей модели нашего с вами пространства (Модели Фридмана) возможны три варианта. Средняя плотность может быть больше, меньше или равна критической.
Если объяснить это простыми словами, то — большая плотность означает большую массу вещества, которая в свою очередь искривит пространство-время до замкнутого состояния. Малая плотность, наоборот, не позволит замкнуться и намекает на бесконечность пространства времени.
*»плоская», здесь не означает, двухмерная, как лист бумаги, это математическая абстракция описывающая свойство кривизны пространства.
Итак, что же такое бесконечность на самом деле? Все зависит от точки зрения и обстоятельств. В одном случае — философская абстракция ничего не значащая в реальном мире, в другом, вполне понятная величина.