астатизм 1 и 2 порядка чем отличаются

Рис. 86. Структурная схема астатической системы (v>1)

Рис. 87. Структурные схемы системы для определения порядка астатизма v по возмущению (а) и по задающему воздействию(б)

Таким образом, порядок астатизма по отношению к задающему воздействию легко определить непосредственно по структурной схеме системы. Для этого систему следует привести к одно­контурной и определить количество интегрирующих звеньев между ее вхо­дом и выходом.

Определим теперь порядок астатиз­ма системы (рис. 85) по отношению к возмущающему воздействию F(t). Для этого преобразуем данную систему та­ким образом, чтобы ее часть с переда­точной функцией W₁(p) по отношению к возмущению F(р) являлась цепью обратной связи (рис. 87, а):

где к_о.с — коэффициент обратной связи; v — количество интегрирующих звеньев; W*₁ (р) — передаточная функция, содержащая только статические звенья.

Очевидно, что при F (t) = const ошибка влияния возмущения может быть равной нулю после завершения переходного процесса только при наличии интегратора в цепи обратной связи v 1.

Таким образом, если в цепи обратной связи между выходом системы и точ­кой приложения

возмущающего воздействия имеется интегрирующее звено, то система по отношению к этому воздействию является астатической, причем порядок астатизма зависит от количества интегрирующих звеньев v. При от­сутствии интеграторов в цепи обратной связи v = 0 система статическая.

Сформулированное выше правило можно обобщить и на случай определения порядка астатизма по отношению к задающему воздействию. Для этого необ­ходимо структурную схему (рис. 86) преобразовать к виду, показанному на

88. Структурная схема следящей системы с задающим и возмущающим воздействиями.

рис. 87, б, где выходом системы считается ошибка ∆Х (р). Заметим, что при этом в цепи обратной связи окажется передаточная функция разомкнутой системы.

Пример 5. Определим передаточные функции следящей системы, изображенной на рис. 88, и порядок ее астатизма по отношению к воздействиям Х_вх(p) и F (р).

Непосредственно из структурной схемы видно, что по отношению к задающему воздействию система имеет астатизм первого порядка (v = 1), так как в ее прямой цепи есть одно интегрирующее звено. Передаточная функция разомкнутой системы

Основная передаточная функция замкнутой системы

где — постоянная времени; — относительный коэф­фициент затухания.

При 0 = 1 — двум апериодическим звеньям, включенным последовательно.

Передаточная функция ошибки

Сравнение рис. 88 и 87, а показывает, что по отношению к возмущающему воздействию F(р) система является статической, так как ее первое звено апери­одическое и ей присуща ошибка влияния возмущения. Для расчета этой ошибки определяют передаточную функцию по возмущению

Методы исследования динамики и расчета точности автоматических систем на основе результатов структурного анализа будут изложены в последующих бе­седах.

Источник

Подскажите : Основы теории управления. Что такое астатизм?

Понятие астатизма является базовым в теории линейных систем управления. Система именуется астатической по отношению к некоторому возмущению, если изменение ее выхода асимптотически стремится к нулю при изменении возмущения на любую постоянную величину. Если выходом является ошибка управления, то астатизм эквивалентен асимптотической инвариантности системы по отношению к постоянным возмущениям. Это свойство, как правило, является желательным, и его наличие в рамках линейной теории легко проверить: передаточная функция от возмущения к выходу должна быть устойчивой, а ее числитель должен иметь нулевой корень. Стандартным способом обеспечения этого свойства является введение интегральной обратной связи. Напомним также, что для линейных систем свойство астатизма влечет за собой ограниченность реакции системы на линейно растущее возмущение.
Представляет интерес распространить понятие астатизма на нелинейные системы, выяснить возможности интегральной обратной связи для обеспечения астатизма и установить, гарантирует ли астатизм ограниченность реакции на возмущение с постоянной или ограниченной скоростью роста. Это и является основной целью данной работы.

Понятие астатизма, традиционное в линейной теории, распространено на нелинейные системы. Приведены условия, при которых обеспечивается астатизм. Рассмотрена проблема реакции нелинейной астатической системы на переменные, но возрастающие с ограниченной скоростью возмущения, а также дана оценка ошибки слежения за изменяющимся желаемым состоянием. Показано, как интегральная обратная связь может обеспечить астатизм. Этот результат использован для анализа управления Лагранжевыми системами.

Основу анализа составляет аппарат функций Ляпунова. Конструктивные выводы появляются, если удается построить соответствующие функции. В качестве примера таких классов систем рассматриваются управляемые Лагранжевы системы, где естественно строятся функции Ляпунова энергетического типа.

Источник

Астатизм 1 и 2 порядка чем отличаются

К числу общих методов повышения точности систем автоматического регулирования относятся:

1) увеличение коэффициента усиления разомкнутой цепи;

2) повышение степени астатизма;

3) применение регулирования по производным от ошибки.

Увеличение общего коэффициента усиления разомкнутой цепи является наиболее универсальным и эффективным методом. Увеличить общий коэффициент усиления можно обычно за счет введения в систему регулирования усилителей. Однако в некоторых случаях удается достичь этого увеличения за счет повышения коэффициентов передачи отдельных звеньев, например чувствительных элементов, редукторов и т. д.

Увеличение общего коэффициента усиления благоприятно сказывается в смысле уменьшения ошибок практически во всех типовых режимах. Это вытекает, в частности, из того, что общий коэффициент усиления разомкнутой цепи входит в качестве делителя во все коэффициенты ошибок (см. пример, рассмотренный в § 8.3).

Однако увеличение общего коэффициента усиления ограничивается устойчивостью системы регулирования. При повышении коэффициента усиления, как правило, система приближается к колебательной границе устойчивости. При некотором предельном его значении в системе возникают незатухающие колебания. В этом сказывается противоречие между требованиями к точности и требованиями к устойчивости системы регулирования.

В связи с этим повышение общего коэффициента усиления до значения, при котором обеспечивается выполнение требований к точности, обычно может производиться только при одновременном повышении запаса устойчивости системы, что осуществляется при помощи так называемых корректирующих средств, рассматриваемых в следующей главе.

Повышение порядка астатизма.

где — коэффициент передачи интегрирующего звена. представляет собой передаточную функцию разомкнутой системы регулирования до введения интегрирующего звена.

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы будет иметь дополнительный множитель в знаменателе:

Повышение порядка астатизма неблагоприятно сказывается на устойчивости системы. Поэтому одновременно с повышением порядка астатизма в системе автоматического регулирования приходится использовать корректирующие звенья, повышающие запас устойчивости (см. главу 10).

В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим систему, изображенную на рис. 6.4. Для нее была получена передаточная функция разомкнутой системы в виде

которая соответствует астатизму первого порядка.

В соответствии с примером, рассмотренным в § 8.3, первые коэффициенты ошибки можно записать следующим образом (если положить

Введем в систему интегрирующее звено, например интегрирующей привод. Соответствующая этому случаю электромеханическая схема изображена на рис. 9.2.

В этой схеме приняты следующие условные обозначения: СКВТ — синусно-косинусные вращающиеся трансформаторы, ЛВТ — линейный вращающийся трансформатор, Д — двигатели, Р — редукторы,

ТГ — тахогенератор. Передаточная функция исходной системы без интегрирующего звена (9.1) была выведена в § 6.2. Передаточная функция разомкнутой системы, изображенной на рис. 9.2, будет отличаться от (9.1) наличием дополнительного множителя который дает интегрирующее звено. В результате получим передаточную функцию разомкнутой системы в виде

где добротность системы по ускорению.

Эта передаточная функция соответствует уже астатизму второго порядка

Передаточная функция системы по ошибке

Раскладывая эту функцию в ряд делением числителя на знаменатель, получаем вместо (9.2) следующие равенства для коэффициентов ошибок:

Сравнивая (9.5) с (9.2), можно заметить, что в результате введения интегрирующего звена вследствие повышения порядка астатизма получено условие и, следовательно, будет равна нулю скоростная составляющая ошибки.

Однако, если проверить теперь систему на устойчивость, можно убедиться, что система вообще не может работать, так как получить устойчивую работу нельзя ни при каком значении общего коэффициента усиления Это называется структурной неустойчивостью. Действительно, передаточной функции (9.3) соответствует характеристическое уравнение

в котором отсутствует член, содержащий оператор в первой степени. Пропуск одного из членов в характеристическом уравнении всегда соответствует неустойчивости в соответствии с § 6.1.

Появление неустойчивости в рассматриваемой системе при повышении порядка астатизма можно проиллюстрировать на логарифмических характеристиках. Логарифмические характеристики для передаточной функции (9.1) построены на рис. 9.3 по выражениям:

Логарифмические характеристики для передаточной функции (9.3) построены на рис. 9.3 по выражениям:

Сравнение рис. 9.3, а и 9.3, б, а также формул (9.7) и (9.9) показывает, что введение интегрирующего элемента дает дополнительный фазовый сдвиг

в результате чего в рассматриваемой схеме нельзя добиться устойчивой работы ни при каком значении общего коэффициента усиления. Однако это не означает, что схема является вообще неработоспособной. Введение в нее корректирующих средств (см. главу 10) позволяет не только достичь устойчивости, но и обеспечить определенный запас устойчивости, т. е. выполнить требования к качеству процесса регулирования.

Применение изодромных устройств.

где — постоянная времени изодромного устройства.

Пример введения изодромного устройства показан на рис. 9.5.

На рис. 9.5, а изображен чувствительный элемент регулятора давления с противодействующей пружиной. Если не учитывать массу движущихся частей, то перемещение чувствительного элемента будет пропорциональным отклонению давления от заданного значения:

где — коэффициент пропорциональности, определяемый жесткостью пружины.

На рис. 9.5, б изображен тот же элемент, но с противодействующим демпфером. Так как сила, развиваемая демпфером, пропорциональна скорости перемещения его поршня, то в этом случае будет иметь место соотношение Вместо (9.11) получим

где — коэффициент, определяемый скоростным сопротивлением демпфера.

Равенство (9.12) соответствует введению интеграла в закон регулирования.

Наконец, в случае, изображенном на рис. 9.5, в, перемещение чувствительного элемента будет складываться из деформации пружины и перемещения поршня демпфера:

где постоянная времени изодромного устройства.

В качестве второго примера рассмотрим приведенную выше схему следящей системы (рис. 9.2). Переход от введения дополнительного интеграла к введению изодромного устройства может быть сделан добавлением связи показанной пунктиром.

Передаточная функция разомкнутой системы может быть получена умножением (9.1) на передаточную функцию изодромного устройства.

В результате для рассматриваемой схемы получим:

где — добротность системы по ускорению.

Коэффициенты ошибки определяются равенствами:

Рассматривая характеристическое уравнение системы

можно убедиться, что в системе возможно получение устойчивости при выполнении условия

Нетрудно видеть, что при (это будет при отсутствии интегрирующего привода в изодромном механизме) условие устойчивости переходит в неравенство

которое справедливо для исходной схемы, изображенной на рис. 6.4. При достаточно больших значениях постоянной времени изодромного механизма что соответствует малому передаточному коэффициенту интегрирующего привода условия устойчивости (9.16) и (9.17) будут мало отличаться от условия устойчивости (9.18) исходной схемы. Таким образом, введение изодромного механизма с относительно большой постоянной времени дает повышение порядка астатизма на единицу при возможности практически сохранить условия устойчивости в системе, куда этот механизм вводится.

Это обстоятельство можно проиллюстрировать также на логарифмических частотных характеристиках (рис. 9.6). В соответствии с выражением для передаточной функции разомкнутой системы (9.14) можно записать;

Сравнивая эти выражения с формулами (9.6) и (9.7) справедливыми для исходной схемы, можно заметить, что при относительно большом значении постоянной времени логарифмические характеристики системы с изодромным устройством будут иметь отличие только в низкочастотной области при Для частот дополнительный множитель в (9.19) обращается в единицу, а дополнительный фазовый сдвиг в (9.20) равен нулю. Таким образом, при логарифмические частотные характеристики системы с изодромным устройством практически не отличаются от логарифмических характеристик исходной схемы. В частности, в районе нуля децибел для л. а. х. можно получить одинаковый вид амплитудной и фазовой характеристик для обеих схем, что будет соответствовать одинаковому запасу устойчивости.

На рис. 9.6 сплошными линиями показаны л. а. х. и л. ф. х. для исходной схемы, а пунктирными — изменения, даваемые введением изодромного устройства с относительно большой постоянной времени.

Следует заметить, что введение изодромного устройства с большой постоянной времени образует систему, динамические качества которой могут оказаться сравнительно низкими. Это объясняется тем, что введение такого устройства улучшает вид амплитудной характеристики только в низкочастотной области (рис. 9.6). В результате коэффициенты ошибки, следующие за тем коэффициентом, который обращается в нуль, могут не только не уменьшиться, но даже возрасти.

В рассмотренном выше примере при введении изодромного устройства обратился в нуль коэффициент Однако в следующие коэффициенты в качестве делителя входит добротность по ускорению . При большом значении постоянной времени добротность системы по ускорению получается малой и коэффициенты ошибок сильно возрастают.

Для дальнейшего повышения порядка астатизма системы регулирования могут применяться не один, а два, три и т. д. изодромных устройства. В этом случае можно получить повышение порядка астатизма на один, два, три и т. д. в зависимости от необходимости. На рис. 9.7 в качестве примера приведена структурная схема системы с тремя изодромными устройствами, т. е. схема с тройным изодромированием.

Если исходная система имеет, например, астатизм первого порядка, то система рис. 9.7 с изодромными устройствами будет обладать астатизмом четвертого порядка. В этом случае для коэффициентов ошибок будет иметь место равенство Как и ранее, при соответствующем выборе постоянных времени изодромных устройств можно сохранить практически те же условия устойчивости, что и в исходной системе.

Регулирование по производным от ошибки.

В большинстве случаев регулирование по производным от ошибки имеет целью повысить запас устойчивости системы, что позволяет увеличить общий коэффициент усиления системы и тем самым улучшить точность регулирования. Это будет рассмотрено более подробно в главе 10.

Однако регулирование по производным от ошибки может самостоятельно повышать точность системы регулирования даже в том случае, когда сохраняется неизменным общий коэффициент усиления в системе. Физика этого явления заключается в том, что при введении регулирования по производным система начинает чувствовать не только наличие ошибки, но и тенденцию к изменению ее величины. В результате система регулирования более быстро реагирует на появление задающих и возмущающих воздействий, что снижает ошибку регулирования.

Структурная схема введения производной по ошибке изображена на рис. 9.8. Передаточная функция части прямого канала вместе с включенным дифференцирующим элементом может быть представлена приближенно (в предположении, что дифференцирующий элемент является идеальным) в виде

где — постоянная времени дифференцирующей цепи.

В качестве дифференцирующих элементов могут, например, применяться устройства, изображенные на рис. 4.23 и 4.24.

Рассмотрим в качестве примера ту же следящую систему (рис. 6.4). При введении производной от ошибки при помощи тахогенераторов, установленных на командной и исполнительной осях, электромеханическая схема будет иметь вид, изображенный на рис. 9.9.

Здесь приняты следующие обозначения: СКВТ — синусно-косинусные вращающиеся трансформаторы, ТГ — тахогенераторы, Д — двигатель, Р — редуктор.

Передаточная функция разомкнутой системы может быть получена умножением (9.1) на передаточную функцию (9.21). В результате получим

где постоянная времени представляет собой отношение передаточного коэффициента тахогенератора к передаточному коэффициенту чувствительного элемента (СКВТ), т. е.

Для передаточной функции разомкнутой системы (9.22) находим передаточную функцию по ошибке:

Раскладывая ее в ряд, получаем соотношения для коэффициентов ошибок:

Сравнивая последние выражения с (9.2), можно заметить, что коэффициенты (а также следующие коэффициенты) уменьшаются при введении регулирования по первой производной от ошибки. При соответствующем выборе величины постоянной времени можно добиться условий или При система не будет иметь установившейся ошибки, пропорциональной ускорению.

Аналогичным образом, применяя два включенных последовательно дифференцирующих элемента, можно получить равенство нулю одновременно

двух коэффициентов, например . В этом случае можно показать, что в системе, наряду с регулированием по первой производной от ошибки, будет использоваться регулирование по второй производной. Это вытекает из того, что передаточная функция двух дифференцирующих элементов, включенных друг за другом в соответствии с рис. 9.8, будет равна произведению двух передаточных функций типа (9.21):

где представляет собой отношение коэффициентов передачи по первой производной и по ошибке, а — отношение коэффициентов передачи по второй производной и по ошибке.

Как видно из рассмотренного, в отличие от случая введения изодромного устройства (см. рис. 9.4), когда обращается в нуль первый, ранее отличный от нуля коэффициент ошибки, введение дифференцирующего элемента (рис. 9.8) не влияет на этот коэффициент ошибки, но зато уменьшает последующие коэффициенты. В связи с этим наиболее эффективное снижение ошибки системы регулирования может быть достигнуто при одновременном использовании изодромных устройств и дифференцирующих элементов.

Так как дифференцирование эквивалентно дополнительному усилению верхних частот, то использование более чем двух дифференцирующих элементов оказывается затруднительным вследствие возрастания влияния высокочастотных помех. Число же изодромных устройств ограничивается только получающимся усложнением системы регулирования. Однако и оно обычно не превышает трех.

Источник