Апории Зенона
Проблема бесконечности и развитие античной диалектики
Зенон выдвинул ряд парадоксальных положений, которые получили название апорий («апория» в переводе с греческого означает «затруднение», «безвыходное положение»). С их помощью он хотел доказать, что бытие едино и неподвижно, а множественность и движение не могут быть мыслимы без противоречия, и потому они не суть бытие.
Первая из апорий — «Дихотомия» (что в переводе с греческого означает «деление пополам») доказывает невозможность мыслить движение. Зенон рассуждает так: чтобы пройти какое бы то ни было, пусть самое малое расстояние, надо сначала пройти его половину и т. д. без конца, поскольку любой отрезок линии можно делить до бесконечности. И в самом деле, если непрерывная величина (в данном случае — отрезок линии) мыслится как актуально данное бесконечное множество точек, то «пройти», «просчитать» все эти точки ни в какой конечный отрезок времени невозможно.
Группа ВКонтакте — Философия одной Души
На том же допущении актуальной бесконечности элементов непрерывной величины основана и другая апория Зенона — «Ахиллес и черепаха». Зенон доказывает, что быстроногий Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, потому что, когда он преодолеет разделяющее их расстояние, черепаха проползет еще немного, и так всякий раз до бесконечности.
В третьей апории — «Стрела» — Зенон доказывает, что летящая стрела на самом деле покоится и, значит, движения опятьтаки на самом деле нет. Он разлагает непрерывность времени на сумму дискретных (неделимых) моментов, отдельных «теперь», а непрерывность пространства — на сумму отдельных неделимых отрезков. В каждый момент времени стрела, согласно Зенону, занимает определенное место, равное ее величине. Но это означает, что она в каждый момент неподвижно покоится, ибо движение, будучи непрерывным, предполагает, что предмет занимает место большее, чем он сам. Значит, движение можно мыслить только как сумму состояний покоя, и, стало быть, никакого движения нет, что и требовалось доказать. Таков результат, вытекающий из допущения, что протяженность состоит из суммы неделимых «мест», а время — из суммы неделимых мгновений. Движение ведь предполагает бесконечную делимость как пространства, так и времени.
Таким образом, как из допущения бесконечной делимости (которая, видимо, по Зенону, предполагает актуально бесконечное множество «точек» в любом отрезке), так и из допущения неделимости отдельных моментов времени Зенон делает один и тот же вывод: ни множество, ни движение не могут быть мыслимы без противоречия, а поскольку для элеатов бытие и мышление — одно и то же, тождественны, то движение и множественность не существует поистине, а только во мнении.
Парадоксы Зенона нередко рассматривались как софизмы, сбивающие людей с толку и ведущие к скептицизму. Характерно одно из опровержений Зенона философом Антисфеном. Выслушав аргументы Зенона, Антисфен встал и начал ходить, полагая, что доказательство действием сильнее всякого словесного возражения.
Несмотря на то что с точки зрения здравого смысла апории Зенона могут восприниматься как софизмы, на самом деле это — не просто игра ума: впервые в истории человеческого мышления здесь обсуждаются проблемы непрерывности и бесконечности. Зенон сформулировал вопрос о природе континуума, который является одним из «вечных вопросов» для человеческого ума.
Апории Зенона сыграли важную роль в развитии античной диалектики, как и античной науки, особенно логики и математики. Диалектика единого и многого, конечного и бесконечного составляет одну из наиболее важных заслуг Платона, в чьих диалогах мы находим классические образцы древнегреческой диалектики. Интересно, что понятие актуально бесконечного, введенное Зеноном для того, чтобы с его помощью доказать от противного основные положения онтологии Парменида, было исключено из употребления как в греческой философии (его не признавали ни Платон, ни Аристотель), так и в греческой математике. И та, и другая оперировала понятием потенциальной бесконечности, то есть бесконечной делимости величин, но не признавала их составленности из бесконечно большого числа актуально данных элементов.
Итак, в понятии бытия, как его осмыслили элеаты, содержится три момента: 1) бытие есть, а небытия нет; 2) бытие едино, неделимо; 3) бытие познаваемо, а небытие непознаваемо: его нет для разума, а значит, оно не существует.
Понятие единого играло важную роль также у пифагорейцев. Последние объясняли сущность всех вещей с помощью чисел и их соотношений, тем самым способствуя становлению и развитию древнегреческой математики. Началом числа у пифагорейцев выступало единое, или единица («монада»). Определение единицы, как его дает Евклид в VII книге «Начал», восходит к пифагорейскому: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым». Единое, согласно пифагорейскому учению, по своему статусу выше множественности; оно служит началом определенности, дает всему предел, как бы стягивая, собирает множественное. А там, где налицо определенность, только и возможно познание: неопределенное — непознаваемо.
Парадоксы Зенона вводили в недоумение многих ученых и философов до 17 века. И до сих пор многие ученые спорят о бесконечности, структуре пространства и времени, хотя началось все с нескольких парадоксальных утверждений, ставящих поначалу в логический тупик любого умного человека.
История возникновения парадоксов Зенона
Зенон Элейский – философ Древней Эллады, ученик основателя Элейской школы – Парменида. Жил он с 515 по 450 год до нашей эры, о его жизни известно очень мало. Родился в городе Элее в южной части Италии. По утверждению Платона, Зенон побывал в Афинах и встретился с Сократом. Прославился благодаря своим апориям, в виде которых был сформулирован знаменитый парадокс Зенона. Апории Зенона представляют собой парадоксальные рассуждения, само же слово «апория» с греческого языка обозначает «безвыходность».
Парадоксы о движении и времени
Проблема решилась после идеи дифференциального исчисления, которую предложили Ньютон и Лейбниц. Там есть понятие «предел», так прояснилась разница между разбиением времени и разбиением на отрезки определенного пути. К тому же загадка разрешилась, когда ученые научились пользоваться бесконечно малыми величинами. Апории Зенона породили с тех пор множество различных вариаций. Кроме того, возможно, добавились некоторые детали. Мы перечислим сохранившиеся до наших дней парадоксы Зенона и кратко расскажем об их сути. Во всяком случае, попытаемся это сделать.
Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе
Герой мифов Древней Греции Ахиллес соревнуется в скорости бега с черепахой. Условия таковы, что черепаха стартует немного дальше, Ахиллес находится от нее на расстоянии в 1000 шагов.
Чтобы догнать черепаху, Ахиллес должен достигнуть сначала места, с которого черепаха стартовала. Но как только он добежит до этого места, черепаха успеет проползти 100 шагов. Это расстояние, которое она проползла, еще предстоит преодолеть Ахиллесу, но к тому времени она уползет еще дальше на 10 шагов и так далее. Число таких отрезков, которые нужно преодолеть Ахиллесу, по утверждению Зенона, может быть бесконечным, ведь величина этих отрезков все время будет уменьшаться до бесконечно малых величин.
Выходит, если следовать такой логике, древнегреческий герой никогда не догонит черепаху. Парадокс Зенона заключается в существовании бесконечного количества бесконечно малых отрезков, но в реальной жизни бегун наверняка обгонит медлительное животное.
Летящая стрела
Этот парадокс получил название «Стрела». Это еще одна апория, которую Зенон сформулировал приблизительно следующими словами. Если что-либо пребывает в движении, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает собой, либо оно движется там, где его нет. Но оно не способно двигаться в том месте, которое оно занимает. Так как в каждую секунду оно занимает полностью все это место. Но и в том месте, где его нет, оно не может двигаться. Следовательно, движение само по себе невозможно.
По утверждению Зенона, стрела, когда летит, одновременно пребывает в покое. Потому что в каждый момент она занимает одно и то же пространство, равное ей. То есть стрела пребывает в покое относительно места, где она находится в определенный промежуток времени. Получается, что летящая стрела неподвижна. Если она неподвижна в определенный момент, значит, она находится в покое и в другие моменты времени. И нет того момента, когда стрела двигалась.
Дихотомия
Парадокс, который будет приведен далее, имеет название «дихотомия». В переводе с греческого языка оно означает «разделение надвое», и дано оно Аристотелем. Эта апория изложена примерно по такому же принципу, как и парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе.
В оригинале говорится о бегуне, который не в состоянии даже стартовать, ведь движения, по мнению Зенона, не существует. Но есть еще и распространенный вариант про пересечение комнаты.
Чтобы пересечь комнату, нужно сначала пересечь половину комнаты. На это уйдет определенная единица времени. После этого останется определенное расстояние, нужно преодолеть половину его за еще одну единицу времени. Затем тот отрезок пути, что остался, нужно разделить еще надвое и пройти половину этого отрезка за то же время. Тогда опять остается определенное расстояние, половину которого надо пересечь. Получается, что комнату пересекать можно бесконечно.
Две колонны на стадионе
Две колонны людей, одинаковые по длине, двигаются параллельно с одинаковой скоростью в противоположных направлениях. По утверждению Зенона, время которое истечет, когда колонны будут проходить мимо друг друга, равно половине того времени, которое нужно одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.
Разрешение парадоксов Зенона
Из четырех перечисленных апорий наибольшую известность получили первые три. Четвертая появилась из-за неправильного понимания природы относительного движения.
Все апории можно легко опровергнуть экспериментально. Ничего не мешает пересечь комнату, выпустить стрелу и обогнать черепаху.
Рассмотрим парадокс, связанный с пересечением комнаты. Конечно, если разделить расстояние надвое и пройти половину, на это уйдет определенное количество времени. Останется еще расстояние, которое тоже нужно поделить надвое и пройти половину. Но для этого времени понадобится в два раза меньше. Чем меньше становится расстояние, которое необходимо преодолеть, тем больше будет сокращаться время на его прохождение. Выходит, при пересечении комнаты в конце требуется неограниченное число бесконечно маленьких временных отрезков. Но если сложить все отрезки, получится определенное число – оно-то и будет временем, затраченным на пересечение комнаты. Получается, пересечь комнату вполне возможно за определенный промежуток времени. Это доказательство схоже с нахождением предела при дифференциальном исчислении. Древнегреческий философ Зенон ошибочно предполагал, что при прохождении бесконечно малых расстояний каждый раз требуется одно и то же время.
Что касается парадокса Зенона «Летящая стрела», еще Аристотель его раскритиковал, утверждая, что каждый момент времени не может быть неделимым сам по себе. Еще он говорил, что рассуждения Зенона о том, что если все занимающее равное себе место пребывает в покое, и если то, что пребывает в движении, всегда занимает в любой момент такое же место, то стрела неподвижна, ошибочны.
Квантовый эффект
Парадоксы Зенона были опровергнуты со временем многими учеными. Но они все же внесли определенный вклад в науку. В квантовой физике на сегодняшний момент есть такое понятие, как квантовый парадокс Зенона. Он заключается в том, что если наблюдать за нестабильной частицей, например, проводить измерения, проверять, распалась частица или нет, то возникает некоторое замедление радиоактивного распада.
Предполагается, что если непрерывно наблюдать за частицей, то она может вообще не распасться. В 90-х годах прошлого века этот квантовый эффект был подтвержден с помощью ряда экспериментов.
Апории зенона доказывают что
Философ Зенон принадлежал к элейской школе древнегреческой философии. Основой её учения являлась идея и том, что первооснова мира пребывает неизменно как в пространстве, так и во времени. Для обоснования этой мысли Зенон развивал остроумные диалектические рассуждения, получившие название «апорий» (от греческого слова «трудность», «безвыходность»). Ими он старался доказать, что привычные нам представления о множественности и движении не имеют ничего общего с истинной реальностью, что они – лишь чувственная иллюзия, противоречащая рассудку.
Апории Зенона против множественности
В самых простых понятиях множества и величины заключаются противоречащие друг другу понятия конечного и бесконечного. Уже пифагорейцы весь мир слагали из этих двух противоположностей. Рассмотрим аргументы («апории») Зенона против материального множества, вытекающие из указанных противоречий.
Множество равно себе по количеству и не может быть ни больше ни меньше себя самого, – постольку оно есть определенное множество; вместе с тем оно беспредельно, ибо между частями множества есть всегда нечто, их разделяющее; между разделяемым и разделяющим есть еще нечто и т. д. до бесконечности. Рассматривая эту апорию, надо иметь в виду аргументацию Парменида: сущее (существующее) может быть отделено от сущего только чем-нибудь сущим, так как небытие потому и небытие, что его нет совершенно.
Другая апория Зенона: если существует множество вещей, то они вместе бесконечно малы и бесконечно велики, ибо всякая вещь состоит из частей, всякая часть – из других частей, и так далее до бесконечности. При этом каждая часть отделена чем-либо «сущим» от других. Отсюда вытекает, что вещей – бесконечное множество и что каждая из них, занимая бесконечное пространство бесконечностью частей – сама бесконечно велика. С другой стороны, так как всякая частица отделена от другой бесконечным множеством, каждая из них бесконечно мала; отделенная от всех частиц, она сама не имеет частей. Постольку она не имеет и величины; прибавленная к чему-либо, она не может ничего собою увеличить, а потому все вещи, состоя из бесконечно-малых частей, сами бесконечно малы или не имеют величины. Материя имеет и не имеет величины, есть великое и малое, бесконечно-великое и бесконечно-малое, откуда и вытекает, по Зенону, ложность видимых явлений.
Всякая протяженная величина может рассматриваться по произволу и как бесконечно-великая, и как бесконечно-малая; состоя из бесконечного множества бесконечно малых частей, она бесконечно мала в пространстве; с другой стороны, она занимает пространство, которое внутренне во всех частях своих всюду бесконечно, и постольку сама является бесконечно-великой. Отсюда возникают все паралогизмы о материи, столь занимавшие философию. Из сознания несоответствия между пространством и данным чувственным протяжением является проблема бесконечной делимости материи; если есть непротяженные части, конечные математические точки, то их сумма не может составить чего-либо протяженного; если же части протяженного сами протяженны, то они не конечны, будучи делимы до бесконечности. Оба решения одинаково неудовлетворительны: бесконечное не слагается из конечного и конечное не слагается из бесконечного. Следовательно, вещи, которые, по-видимому, наполняют пространство, на самом деле оставляют его пустым. Указывают на то, что вещи лишь делимы, но не разделены; но все же остается непонятным, каким образом конечные вещи могут занимать пространство, которое, будучи непрерывно, в то же время всюду бесконечно.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, когда пройдет один шаг, черепаха проползет десятую часть шага, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Говорят, что однажды Зенон рассказал эту апорию в собрании своих коллег, а один философ в ответ начал просто молча ходить по комнате, тем самым как бы говоря: «Смотрите, я же двигаюсь, а Зенон утверждает, что это невозможно!». Однако тем самым он не опровергает апорию Зенона, ведь эта апория строится не на чувственном (зрительном) понимании, а разумном. До сих пор многие ученые пытаются опровергнуть эту апорию, но достойно опровергнуть такую логически верную апорию очень сложно.
Даже А.С. Пушкин писал по поводу этой апории:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.
Апории Зенона против пространства
Апории Зенона доказывают, что вещи не могут наполнить пространства и что оно может быть наполнено лишь тою неделимою сферою, о которой учил Парменид. Но тут является новое затруднение. Круглая сфера Парменида имеет в себе свой предел, между тем как пространство беспредельно не только внутренним но и внешним образом: следовательно, «сфера» может занимать лишь ограниченное место в пространстве. Таким именно было представление пифагорейцев, которые вне мира допускали пустую беспредельность. Но Зенон для разрешения этого затруднения исследует само понятие места. Своими апориями он доказывает, что понятие места ложно; все, что существует в пространстве, имеет место; если место существует в пространстве, то оно также имеет место; место этого места точно так же, и т. д. до бесконечности; бесконечность же не может быть местом, ибо в противоположном случае она предполагала бы новую бесконечность мест. Место не имеет места в пространстве; умопостигаемая сфера Парменида не имеет места, потому что она всеобъемлюща; место предполагает пустоту, а пустоты, как мы знаем, нет вовсе; вот и другой аргумент против понятия места и связанных с ним понятий движения и материального множества, аргумент, которым затем воспользовался другой представитель элейской школы – Мелисс.
Допустим, тело должно переместиться из точки А в точку В. Чтобы преодолеть этот путь, сначала оно должно преодолеть половину пути, а перед этим — четверть. Прежде, чем пройти четверть, тело пройдет восьмую часть пути, перед этим шестнадцатую, и так далее. Получается, телу надо пройти бесконечное количество участков на своем пути, а бесконечность пройти нельзя. Поэтому тело никогда не переместится.
Конечно, мы знаем, что на самом деле тела могут перемещаться в пространстве, ведь постоянно наблюдаем вокруг себя движения различных тел, но апории Зенона заставляют задуматься о истинности нашего наблюдения.
Апории Зенона против движения
Апории Зенона против возможности движения также очень замечательны и важны. Движение не может совершиться в данный промежуток времени, потому что пространство заключает в себе бесконечность. Ахиллес никогда не может догнать черепахи, как бы мало она ни была впереди его, ибо всякий раз, как он при всей скорости своего бега ступит на место, которое перед тем занимала черепаха, она несколько подается вперед; как бы ни уменьшалось разделяющее их пространство, оно все-таки бесконечно.
Положим, что Ахиллес бежит в 10 раз скорее черепахи, которая движется впереди его; пусть он отстал от нее на расстояние версты. Вопрос: каким образом он может ее догнать? Ведь в то время как он пройдет версту, она успеет подвинуться на 1/10 версты, когда он пройдет и это расстояние, – она опередит его на 1/100 версты и т.д. Расстояние может уменьшиться до бесконечности, а Ахиллес все-таки не догонит черепахи. Но он догонит ее, если пробежит 10/9 своего пути, так как в это время черепаха пройдет всего 1/9. Однако трудность для мысли все-таки останется; ведь мы знаем, что в действительности не только Ахиллес, а и каждый из нас догонит черепаху, но для философа ставится вопрос о мыслимости движения вообще, как Зенон доказывает это в следующей апории, являющейся вариантом только что изложенной: для того чтобы пройти известное расстояние, должно пройти его половину, половину половины и т. д. целую бесконечность. Нельзя в конечное время пройти бесконечное пространство.
Обыкновенно возражают на то, что Зенон упускает из виду бесконечность времени, которая покрывает собою бесконечность пространства. Но и это возражение несущественно: движение столь же мало наполняет время, как вещество пространство. Против этого, в доказательство параллельности времени и пространства, у Зенона есть знаменитая апория о неподвижности «летящей стрелы»: такая стрела не движется, ибо в каждый данный момент времени она занимает данное место пространства; а если она неподвижна в каждую данную единицу времени, – она неподвижна и в данный промежуток его. Движущееся тело не движется ни в том месте, которое оно занимает, ни в том, которого оно не занимает.
На это возражают, что непрерывно движущееся тело не занимает определенного места и, наоборот, переходит из одного места в другое. Но это-то и доказывает нереальность движения: если пространство и время непрерывны, то в них нет промежутков, а следовательно, нет отдельных времен и мест: и движение также не может разделить времени, как вещи не могут разделить пространства. Таким образом, Парменид оказывается правым перед теми, кто не подвергает сомнению «истинность» эмпирической действительности. Мир чувственных вещей не может действительно заполнить того пространства и времени, которое он, по-видимому, занимает. Пространство и время наполнены единой и неделимой, непрерывной и абсолютно плотной сферой Парменида, вечно неподвижной.
От Зенона дошли до нас и другие апории, также стремящиеся показать обманчивость чувственных восприятий даже в их собственной сфере. Если высыпать меру зерна, она производит шум; если уронить одно зерно, то шума нет; но если куча издает звук, то – и зерна, отдельные части ее; если зерно не звучит, то не звучит и самая куча. Другая апория направлена опять против движения, доказывая его относительность: два тела, движущиеся с равной скоростью, проходят в равное время одинаковое пространство; но одно тело проходит вдоль другого вдвое большее протяжение, если это второе тело движется с равной скоростью в противоположном направлении.
Обе эти апории хотя и носят софистический характер, но вполне доказывают относительность чувственного восприятия и движения. Будучи в вагоне, мы можем обмануться на станции, когда мимо нас идет другой поезд, и мы не знаем, движемся ли мы или стоим, хотя в этом можно удостовериться: стоит лишь взглянуть на другую сторону. Но если мы предположим в пустом пространстве только два тела, из которых одно движется, а другое неподвижно, то невозможно будет определить, которое именно из них находится в движении.
Итак, апории Зенона показали, что в понятиях пространства и времени заключаются противоречия, неразрешимые антиномии. Пространство и время суть формы явлений; Зенон усомнился в истинности этих явлений, признав их за формы неистинного бытия – ненаполненного, призрачного, пустого. В новое время, отчасти примыкая к Зенону, ту же мысль – хотя и с другой стороны – развил Кант, признавший пространство и время за продукт нашей чувственности, за те субъективные формы, в которых воспринимаются явления.
Зенон первый усомнился в подлинной истинности этих форм бытия, и,
Парадокс Зенона
Движение невозможно. В частности, невозможно пересечь комнату, так как для этого нужно сначала пересечь половину комнаты, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося.
Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.
Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.
Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.
Вот еще одна апория, словами Зенона:
Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.
Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).
Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.
Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.
Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.
Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени. Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.
Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.
Но мое любимое опровержение парадокса Зенона связано не с дифференциальным исчислением Ньютона, а с цитатой из скетча «Второго города», комедийного театра в моем родном Чикаго. В этом скетче лектор описывает различные философские проблемы. Дойдя до парадокса об Ахилле и черепахе, он произносит следующее:
Но это же просто смешно. Каждый сидящий в этой комнате может выиграть гонку с черепахой. Даже такой старый и степенный философ, как Бертран Рассел, — даже он может обогнать черепаху. Но если он и не сможет победить ее, он сможет ее перехитрить!
По-моему, неплохой итог для всего сказанного выше.
