Понятие алгебраической дроби. Основное свойство
Определение алгебраической дроби
Чтобы дать определение алгебраической дроби, необходимо повторить, что такое алгебраическое выражение (см. §1 справочника для 7 класса) и многочлен (см. §14 справочника для 7 класса).
Алгебраическая дробь – это алгебраическое выражение, числитель и знаменатель которого являются многочленами (при условии, что знаменатель не равен нулю).
Алгебраическая дробь, как и другие алгебраические выражения, может быть рациональной или иррациональной. Напомним, что в иррациональных выражениях извлекаются корня из переменных (или переменные возводятся в степень с дробным показателем). В рациональных выражениях корни и дробные степени или вообще не извлекаются или извлекаются только из чисел.
Алгебраические (рациональные) дроби
Алгебраическая дробь существует при условии, что её знаменатель не равен 0. Поэтому, если в знаменателе есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.
Основное свойство алгебраической дроби
При умножении или делении числителя и знаменателя алгебраической дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь:
Это свойство аналогично основному свойству обычной числовой дроби: мы можем одновременно умножать или делить числитель и знаменатель на любое выражение, сокращать на общий множитель, если он существует. Например:
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Основное свойство алгебраических дробей позволяет приводить их к общему знаменателю и упрощать сложные выражения:
Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю
Шаг 2. Дополнительные множители
Перемена знака у члена дроби
Из основного свойства дроби следует, что одновременное умножение числителя и знаменателя на (-1) не изменит дробь:
Дробь также не изменится, если провести следующие перемены знаков:
Ещё несколько полезных формул, связанных с переменой знаков:
Примеры
Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:
$ a^2-4 \neq 0 \iff (a-2)(a+2) \neq 0 \iff a \neq \pm 2$
$ 3x-1 \neq 0 \iff x \neq \frac<1><3>$
$$ x- \frac<4>
$ y^2-3|y| \neq 0 \iff |y|(|y|-3) \neq 0 \iff <\left\< \begin
Пример 2. Сократите дроби:
Пример 3. Упростите выражение:
Пример 4. Постройте график функции:
(О графике линейной функции – см. §38 справочника для 7 класса)
Алгебраические дроби
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Любая обыкновенная дробь называется алгебраической дробью, так как она представляет собой деление, записанное с помощью дробной черты. В алгебраической дроби могут встречаться не только числа, но и буквенные выражения.
Примеры алгебраических дробей:
Для алгебраических дробей применяются правила, аналогичные обыкновенным дробям.
Сокращение алгебраической дроби
Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, на их общий множитель (одночлен, его степень или многочлен) – применяется основное свойство дроби. Причем и числитель, и знаменатель должны содержать множители.
Пример №1. Сократим дробь: 
В числителе и знаменателе дроби мы видим переменную b, на которую и разделим каждую часть дроби:
Промежуточные действия можно не записывать, а выполнять устно.
Пример №2. Сократим дробь: 
Здесь содержатся степени с одинаковым основанием, поэтому, необходимо помнить еще и правило деления степеней с одинаковым основанием (основание остается прежним, а показатели степеней вычитаем). Сократим дробь на меньшую степень – на m 5 :
Пример №3. Сократим дробь: 
В каждой части дроби содержатся разные многочлены, поэтому сократить пока дробь мы не можем, так как нет множителей. Значит, по возможности, мы должны найти выражение, которое можно разложить на множители, это знаменатель, так как можем вынести за скобки общий множитель х(х – у). Только потом мы можем сократить дробь на одно и то же выражение – многочлен (х – у).
Пример №4. Сократим дробь: 
Здесь мы видим, что в числителе многочлен, а в знаменателе произведение одночленов и многочлена, причем многочлены различны. Значит, надо сделать так, чтобы числитель и знаменатель содержали одинаковые множители. Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов, то есть m 2 – n 2 =(m–n)(m+n), затем сократить дробь на одно и то же выражение (m–n).
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем
При сложении и вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается прежним, а числители складывают или вычитают (из числителя первой вычитают числитель второй дроби).
Пример №5. Выполним сложение дробей: 
Здесь одинаковые знаменатели, поэтому записываем его, а числители складываем: при сложении видим подобные слагаемые, которые приводим и получаем в числителе 5х.
Пример №6. Выполним вычитание дробей: 
В знаменатель записываем 2х, а из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, при этом не забываем вычитаемое взять в скобки, если оно является многочленом. Затем раскрываем скобки, помня о том, что необходимо поменять знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак «минус». Затем приводим подобные слагаемые и получаем новый числитель.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо:
Пример №7. Выполнить сложение дробей: 
Чтобы найти общий знаменатель, надо найти для чисел 5 и 10 наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится и на 5, и на 10), это число 10. В первом знаменателе есть еще множитель – переменная у, поэтому также берем у для общего знаменателя. Таким образом, у нас есть два множителя 10 и у, это и есть наш общий знаменатель.
Теперь находим дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого общий знаменатель 10у делим на первый знаменатель 5у, получим 2, значит, умножаем на 2 первый числитель 2х. Для второй дроби 10у делим на 10, получаем у, умножаем на него числитель второй дроби – с. Получаем в числителе 4х+су.
Пример №8. Выполнить вычитание дробей: 
Здесь знаменатели дробей различные многочлены, поэтому надо рассмотреть каждый. Первый знаменатель – это формула сокращенного умножения, по ней можно разложить на множители данный многочлен а 2 – с 2 =(а–с)(а+с). Второй знаменатель представляет собой простой многочлен, который нельзя разложить на множители. Составим новый знаменатель, состоящий из разных выражений – это (а–с)(а+с).
Находим дополнительные множители: к первой дроби дополнительного множителя нет, так как новый общий знаменатель – это полностью знаменатель первой дроби. А ко второй дроби это будет выражение (а – с). Поэтому умножаем числитель 2 на (а – с).
Приводим подобные слагаемые, а полученную дробь сокращаем на выражение (а+с).
Умножение алгебраических дробей
Чтобы перемножить алгебраические дроби, надо числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. При необходимости выполнить сокращение алгебраической дроби, используя правило.
Пример №9. Выполнить умножение дробей:
Здесь перемножаем числители и знаменатели, полученную дробь сокращаем на 2с.
Пример №10. Выполнить умножение дробей: 
Здесь в числителях и знаменателях — многочлены. Поэтому при записи умножения обязательно заключаем их в скобки. При этом мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители – многочлены (х+2), поэтому можно сократить дробь на этот многочлен.
Деление алгебраических дробей
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть умножить на дробь, у которой числитель равен знаменателю второй дроби, а знаменатель числителю второй дроби). Далее – выполнить умножение дробей по уже известному алгоритму.
Пример №11. Выполнить деление дробей:
Здесь выполним деление по алгоритму: перейдем от деления к умножению на дробь, обратную делителю. Сократим полученную дробь на выражение (a+b) и на 2.
Найдите значение выражения:
Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:
теперь переходим от деления дробей к их умножению: 
затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:
сокращаем выражение на (a–5b): 
Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений): 
Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат: 
Ответ: 39
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите значение выражения при x = 12:
Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его. 1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:
далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):
теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:
Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:
Ответ: 0,6
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите значение выражения
В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю — это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:
Приведем подобные слагаемые — это 9b² и — 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:
Вычислим её значение, подставив числа из условия:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите значение выражения:
Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y — и числитель и знаменатель, естественно:
Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:
5 y — (3 x + 5 y) = 5 y — 3 x — 5 y = — 3 x
Тогда дробь примет вид:
Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: — 1/5 y
Подставим значение y = 0,5: — 1 / (5 • 0,5) = — 1 / 2,5 = — 0,4
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
В помощь учителю. Урок 1. Что такое алгебраическая дробь (рациональные выражения) 8 класс
Конспект урока. Что такое алгебраическая дробь (рациональные выражения)
Определение 1 . Алгебраическая дробь — это выражение вида P / Q , где
Р и Q — многочлены; Р — числитель, а Q — знаменатель
алгебраической дроби. Алгебраическую дробь также называют рациональной.
Многочлен — это частный случай алгебраической дроби.
Например, многочлен y 3 +2y+7 равен дроби
Целые выражения – это выражения, 
Определение 3.
Определение 4. Допустимыми значениями переменных, входящих в алгебраическую дробь (рациональное выражение), называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.
Закрепляем полученные знания:
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-064349
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В Ленобласти педагоги призеров и победителей олимпиады получат денежные поощрения
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Комиссия РАН призвала отозвать проект новых правил русского языка
Время чтения: 2 минуты
В России предложили учредить День семейного волонтерства
Время чтения: 2 минуты
Для школьников к 1 сентября разработают короткие экскурсионные маршруты
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Обобщающий урок по алгебре в 8-м классе по теме «Алгебраические дроби»
Разделы: Математика
Цели и задачи урока: повторение и обобщение изученного ранее материала по данной теме разного уровня сложности; развитие познавательного интереса учащихся; закрепление навыков работы в коллективе;
Оборудование: мультимедийный проектор, номера групп на столах, карточки с заданиями.
1. Организация начала урока
На нашем сегодняшнем уроке каждый из вас получит возможность не только поработать вместе с товарищами над одной проблемой, но и научиться отстаивать свою точку зрение, убедить товарищей в правильности выбранного решения и показать свои знания теоретического материала.
2. Сообщение темы, цели и задач урока
Сегодня на уроке мы подведём первые итоги работы по теме «Алгебраические дроби», закрепим те знания, которые уже имеем, познакомимся с различными типами заданий по данной теме, научимся вести дискуссию, вы попробуете организовать работу в коллективе и покажите своим одноклассникам результаты это работы.
Давайте вспомним, какие выражения называются алгебраическими дробями?
Ответ: Алгебраической дробью называется выражение P/Q, где P и Q – многочлены; P – числитель алгебраической дроби, Q – знаменатель алгебраической дроби.
Далее вопросы задаются с использованием слайда 3 (приложение ). На слайде также даются верные ответы.
Теперь каждая из групп получит своё задание (слайд 4). На выполнение данных заданий вам, ребята, отводится 10 минут. Как только вы справитесь с заданием, один из учащихся группы должен написать его решение на доске, чтобы остальные могли оценить его правильность и задать свои вопросы по предложенному ходу решения. Вопросы можно задавать как ученику у доски, так и всем остальным членам группы.
Задания для решения в группах:
2). Указать допустимые значения переменной x:
3). Представьте в виде выражения сумму:
4). Упростите выражение:
Теперь ребята, давайте посмотрим, как вы справились со своими заданиями!
Учащиеся по очереди поясняют решённые ими задания, а участники других групп задают уточняющие вопросы.
Данные решения сравниваются с правильными решениями на слайдах 5, 6, 7, 8.
= 
= 
.
2) Укажите допустимые значения переменной х:
Выражение 
не имеет смысла, если знаменатели слагаемых равны ноль. Таким образом, 
обращается в ноль при x = ±2.
Знаменатель второго слагаемого не превращается в ноль ни при каких значениях переменной x.
Ответ: 
x = ±2.
Выражение 
не имеет смысла, если 1− 
= 0 и x = 0.
Ответ: x = 0, x = 1.
3) Преобразуйте в выражение сумму:
Решение:
Ответ:
4) Упростите выражение:
Ответ: 
И в конце нашего урока мы проведём небольшой математический диктант.
Текст диктанта приведён на слайде 9.
1. При каких значениях переменной выражения не имеют смысла?
2. При каких значениях переменной данные выражения обращаются в ноль?
3. Выполни действия с дробями:
В этом диктанте всего 5 вопросов и количество правильных ответов будет совпадать с вашей оценкой. Желаю удачи!
После того, как учащиеся сдадут свои работы, на следующем слайде можно будет увидеть правильные ответы и оценить выполненную работу самим учеником.
10. 
7. Подведение итогов урока
Какие умения нам сегодня пришлось применить на уроке?
Умение работать в коллективе, умение помогать товарищу, отстаивать свою точку зрения, выбирать правильный ход решения, организовывать совместную работу в группе.
Что, по-вашему, необходимо для успешной работы вместе с товарищами?
Знание теоретического материала, владение основными навыками решения аналогичных заданий, внимание, желание научиться чему-то новому!
Где вам могут пригодиться полученные навыки и умения?
В организации своей учебной деятельности, в совместной работе со сверстниками, при подготовке к экзаменам.
8. Информация о домашнем задании
Попробуйте дома самостоятельно приготовить задания разного уровня сложности по теме «Решение систем уравнений» для работы в группах. Лучшие ваши предложения мы используем на уроке повторения этой темы.
1. Алгебра7. Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинскаи; Под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мненозина, 2003. – 315 с.
2. Авторский коллектив под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ – 2009. Часть 2. Учебно – тренировочные тесты. – Ростов – на – Дону: Легион, 2009. – 138с.